[FEM][MATLAB][有限元][编程] FEM Buckling Analysis Programming with MATLAB (Truss Elements) (桁架单元曲屈分析编程)

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接着博文《[力学][有限元][FEM]Basics of Buckling Analysis [曲屈分析基础]》继续介绍桁架单元(Truss Element)用于屈曲分析的方法。该部分内容也是 书本 《有限单元法:编程与软件应用》屈曲分析章节的部分内容节选。

11.3 屈曲分析1:2D桁架

图 11‑2是本章的算例结构,是一榀XZ平面内的桁架结构,结构几何信息、构件属性和约束信息与第二章中静力分析时相同,节点5、6、7受到-z方向的100kN集中力作用。本章将基于2D桁架单元对该结构进行图中荷载样式下的屈曲分析,并将基于MATLAB编程计算的结果与SAP2000、midas Gen分析结果进行对比。

图 11‑2 结构模型示意

以下直接给出小变形情况下桁架单元的几何刚度矩阵

      (11.3‑1)

其中P为单元轴力,L为单元长度,单元的几何刚度矩阵与单元的内力有关。

11.3.1 MATLAB代码与注释

屈曲分析的Matlab代码与前面章节中静力分析的Matlab代码略有不同,这里给出进行屈曲分析所需的主要代码。

% Truss 2D Buckling Analysis

% Author JiDong Cui(崔济东),Xuelong Shen(沈雪龙)

% Website : www.jdcui.com

% 20170609

……

此前代码与静力分析代码相同,不再赘述。

% Loading

force(10)=-100000;

force(12)=-100000;

force(14)=-100000;

……

根据图 11‑2,为相应的自由度施加荷载,作为参考荷载,用于后续求解单元的几何刚度矩阵。

% Solute balance function

disp('Displacement')

displacement(activeDof) = stiffness( activeDof , activeDof)\force(activeDof)

% Element force

InForce = zeros( numEle , 1 );

for i=1:numEle;

    noindex = EleNode(i,:);

    deltax = xx( noindex(2)) - xx( noindex(1));

    deltay = yy( noindex(2)) - yy( noindex(1));

    L = sqrt( deltax*deltax + deltay*deltay );

    % Element stiffness matrix

    C = deltax / L;

    S = deltay / L;

    % Corresponding freedom of the element nodes

    eleDof = [noindex(1)*2-1 noindex(1)*2 noindex(2)*2-1 noindex(2)*2];

    % Element force

    InForce(i) = (E/L)*[ -C -S C S ]*displacement(eleDof)*A;

end   

disp('Element Stress')

InForce;

该段代码与普通静力分析的代码基本相同,主要用于计算参考荷载作用下单元的内力,用于后续计算单元的几何刚度矩阵,以下将介绍屈曲分析部分的主要代码。

% Geometric Stiffness Matrix

stiffnessM = zeros(numDOF);

stiffnessG = zeros(numDOF);

% Traverse all elements

for i=1:numEle;

    % Index of the element nodes

    noindex = EleNode(i,:);

    % Element length

    deltax = xx( noindex(2)) - xx( noindex(1));

    deltay = yy( noindex(2)) - yy( noindex(1));

    L = sqrt( deltax*deltax + deltay*deltay );

    % Element geometric stiffness matrix

    C = deltax / L;

    S = deltay / L;

    T=[ C,S, 0,0;

       -S,C, 0,0;

        0,0, C,S;

        0,0,-S,C

       ];

    eleKm = EA/L*[ C*C C*S -C*C -C*S;

                   C*S S*S -C*S -S*S;

                  -C*C -C*S C*C C*S;

                  -C*S -S*S C*S S*S];

    eleKg0=InForce(i)/L*[0,0,0,0;

                         0,1,0,-1;

                         0,0,0,0;

                         0,-1,0,1];

    eleKg=T'*eleKg0*T;

    % Corresponding freedom of the element nodes

    eleDof = [noindex(1)*2-1 noindex(1)*2 noindex(2)*2-1 noindex(2)*2];

    % Integrate element geometric stiffness matrix to the global geometric stiffness matrix

    stiffnessM( eleDof , eleDof) = stiffnessM( eleDof , eleDof) + eleKm;

    stiffnessG( eleDof , eleDof) = stiffnessG( eleDof , eleDof) + eleKg;

end

本段代码主要作用:利用参考荷载作用下的单元内力,求解单元的几何刚度矩阵,进而采用“对号入座”的方式,将单元的几何刚度矩阵叠加,获得结构整体的几何刚度矩阵 。

% Solution

A=-stiffnessM(activeDof,activeDof)\stiffnessG(activeDof,activeDof);

[Vo,Do] = eig(A); % Get the eigenvalues and eigenvectors

fo=diag(Do);

posneg=1./fo.*abs(fo); 

Vf=sortrows([Vo',abs(fo),posneg],size(Vo,1)+1);

V=Vf(:,1:size(Vo,1))'; 

f=Vf(:,size(Vo,1)+1).*Vf(:,size(Vo,1)+2);

fac=1./f

本段代码通过求解标准特征值问题,求得特征值和特征向量。Matlab内置函数eig([A])可直接求解特征值和特征向量,求得的特征值放在向量{Do}中,相应的特征向量放在矩阵[Vo]中。其后的代码用于处理求解得到的数据,其中代码“V=”用于将特征向量排序,代码“f=”用于将结构自振频率进行排序,代码“fac=”用于求得屈曲因子,即特征值的倒数。图 11‑3所示是该桁架结构的前三阶屈曲模态。

(a) Buckling Mode 1

(b) Buckling Mode 2

(c) Buckling Mode 3


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