Archive for the ‘Math & Geometry [数学与几何]’ Category

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The ε-δ identity (ε-δ等式), one of the most frequently used identity in solid mechanics. Here is a simple derivation of  the ε-δ identity.

Step 1~2:

Step 3:

Step 4:

Step 5:

Step 6:

Step 7:


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  • 注释 ( Comments )

  ( 邮箱:jidong_cui@163.com . 如果你喜欢这篇博文,请在上面给我 点个赞 吧! :-)   :-)   :-)

  ( Email : jidong_cui@163.com. If you like this posts, please give me a thumbs up rating on the above button! )

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马上更新……)(Coming Soon…..

马上更新...)(Coming Soon)

最近喜欢上了用电脑写字。哈哈。 8-)

三角函数和差化积公式的几何推导。

sin(A+B)

cos(A+B)

8-) 8-)  8-)  8-)

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一个多月前的东西,今天总算有时间把它整理了。 :-)  :-)  :-)  :-)

悬链线(Catenary)是一种曲线,它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名。适当选择坐标系后,悬链线的方程是一个双曲余弦函数。在悬索桥找形过程中经常需要根据悬链线确定初步的索缆的形状(后面再做相关的博文)。花了点时间整理了悬链线的基本列式及基本特性。整个公式的推导主要涉及到双曲正弦函数、双曲余弦函数,弧微分公式等的运用,也是临时抱佛脚恶补了一下高数的知识。

Catenary

推导了公式后即可编写程序,通过数值算法求解悬链线。

catenary_1

catenary_2

catenary_about

总算整理完~~  :-)

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康威常数 (Conway’s Constant) 是 Look-and-say sequence 相邻两项数字长度的比值的极限,常用希腊字母λ表示,约等于1.303577,由数学家 John Conway 发现。

Look-and-say sequence 序列的前10行:

1: 11
2: 21
3: 1211
4: 111221
5: 312211
6: 13112221
7: 1113213211
8: 31131211131221
9: 13211311123113112211
10: 11131221133112132113212221

第n项是对第n-1项的描述。随着n的不断增加,第n+1项的长度和第n项的长度的比值趋向于1.3,极限值为1.303577,这个数就是康威常数。

用程序测试一下 8-)

思路

CONWAY

测试

2项,比值为2。

CONWAY2

5项,比值为1.3333333333333333。

CONWAY5

10项,比值为1.30769230769231。

CONWAY10

50项,比值为1.30372985028826。

CONWAY50

可见比值越来越接近1.303577,即长度增长按30%的速度增加。

无所不在的数学!!!  :-D  :-D  :-D

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元包自动机Cellular Automata)这里就不介绍了,可以在我的其他博文中了解到,有兴趣的朋友也可以去百度一切。这里利用元包自动机进行森林火灾蔓延模拟,当然这肯定不是基于物理的模拟了。最简单的基于元包自动机的森林火灾模型(Cellular Automata Forest Fire Model)大家可以在这个网站 Cellular Automata Forest Fire Model 了解到,作者用Java写了小程序进行模拟。

森林火灾模型介绍(The rules of Cellular Automata Forest Fire Model

  • 燃烧的树(红色格子)会在下一步变成空地(白色格子)。A burning tree (red cell) becomes an empty site (white cell)
  • 如果一颗非燃烧的树(绿色格子)周围有树燃烧,那么它会在下一步变成燃烧的树(白色格子)。A tree (green cell) becomes a burning tree (white cell) if at least one of its nearest neighbors is burning.
  • 一片空地(白色格子)以概率 pGrowth 变成树木(绿色格子)。At an empty site (brown cell), a tree grows with probability pGrowth .
  • 如果非燃烧的树(绿色格子)周围不存在树燃烧,那么它将以 pLightening 的概率遭受雷击( lightening strike)并变成一颗燃烧的树(红色格子)。A tree without a burning nearest neighbor becomes a burning tree with probability pLightening (e.g. lightening strike).

根据以上规则,编写小程序(Following the above principle, we can programme the Cellular Automata Forest Fire Model

CAFire_Begin

CAFire_1

CAFire_2

CAFire_3

CAFire_4
说明 Help

  • pGrowth = 0.02 ;  pLightening = 0.00006;
  • 鼠标/空格键 停止或者开始。(Press SPACE BAR / Click Mouse to pause or to begin.)
  • 键盘”R”键 重新随机生成生命。(Press R to randomly reset the state of all the cells.)
  • 红色表示新增加的生命。(Red Cell means the cell is born.)

参考(Reference):

下载(Download

PS.

  • 可以发现,在一开始,树木(绿色)疯狂的生长。过一段时间后,由于雷电的打击,导致火灾发生。火灾会迅速蔓延,并将树木成群燃烧掉。火灾过后,新的树木又会生长出来。(At the start of this model, you will see trees growing uncontrollably. After a while, lightening strikes will start fires. The fires will spread, destroying trees in big swaths. Behind the fires, new trees will grow up again.)

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生命游戏其实是一个零玩家游戏(百度百科),这个小游戏是一个简单的二维元包自动机(Cellular Automaton),1970年由英国的数学家 John Horton Conway 提出,关于生命游戏的介绍参考 Wikipedia 的 Conway’s Game of Life

游戏中生命的演化规则(The Law of Life Evolution)

  • 如果原先为活的细胞,其周围活的细胞总数少于2个,则该细胞死去。(Any live cell with fewer than two live neighbours dies, as if caused by under-population).
  • 如果原先为活的细胞,其周围活的细胞总数为2个或者3个,则该细胞保持生命。(Any live cell with two or three live neighbours lives on to the next generation).
  • 如果原先为活的细胞,其周围活的细胞总数大于3个,则该细胞将死去。(Any live cell with more than three live neighbours dies, as if by overcrowding).
  • 如果原先为死的细胞,其周围活的细胞总数刚好为3个,则该细胞将重新获得生命。(Any dead cell with exactly three live neighbours becomes a live cell, as if by reproduction).

简单来说就是太拥挤会死,太寂寞会死,给你点阳光你就灿烂!

依据以上规则,编制小游戏,其中初始生命体密度设置为0.1 (Density of Initial Life were 0.1 )



游戏说明(Game Help)

  • 鼠标/空格键 停止或者开始。(Press SPACE BAR / Click Mouse to pause or to begin.)
  • 键盘”R”键 重新随机生成生命。(Press R to randomly reset the state of all the cells.)
  • 红色表示新增加的生命。(Red Cell means the cell is born.)

PS.
很有趣的是,从一开始杂乱无章的状态,经过一段时间后,细胞会达到一种稳定平衡状态。


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继上一篇博文《Sierpinski Triangle by 1D Cellular Automata [1D元包自动机实现Sierpinski三角形]》提到的1维初等元包自动机,以下将几个典型规则的元包自动机实现。

Rule18:

R18

Rule30:

R30

Rule50:

R50

Rule90:

R90

Rule110:

R110

Rule190:

R190

Rule222:

R222

Rule254:

R254

基于1D元包自动机实现Sierpinski三角形,分形(Fractal)的一种。

1D元包初始状态(Initial State of Cellls):

所有元包初始状态为0,中间元包状态1,如下图所示。
IDCA-InitialState

这种元包也称标准Wolfram模型。没错!就是开发Mathematica的那个天才– Stephen Wolfram

元包演化规则(Evolution Rule of Cells):

1DCA-rule

如上图,这种演化规则称为Rule 90。因为90表示为二进制就是:01011010。

计算机实现(Programe the 1D  Celluar Automata):

将所有演化过程的状态从顶到底堆起来,就成了漂亮的Sierpinski三角形。

Stack all the generations of 1D CA  ,with each new generation appearing below the previous , we can get the  beautiful Sierpinski Triangle.

Rule90

PS.

      数学真美。

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