[数学] 傅里叶级数及傅里叶变换公式总结 [Summary of Fourier Series and Fourier Transform Formulas]
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[数学][笔记] 傅里叶变换公式的几种形式 (Several Forms of Fourier Transform Formulas)
实干、实践、积累、思考、创新。 # 傅里叶变换公式的几种形式 研究振动控制、随机振动等，离不开傅里叶变换（Fourier transforms）。对于傅里叶变换，不同文献、书籍有时候会采用不同形式的公式，刚开始看的时候有点凌乱，后面才理清楚，其实不同公式形式本质上都是等价。为了便于后续学习，以下总结几种常见的傅里叶变换公式形式。PS.这里傅里叶变换，指的是非周期函数（周期可以理解为无限长）的傅里叶变换，不是傅里叶级数（Fourier series），傅里叶级数是针对周期函数的说法。 ## 第一种形式 一种通用的形式，\(\Phi \left( p \right)\)和\(F\left( x \right)\)互为傅里叶变换对： $$\Phi \left( p \right) \Leftrightarrow F\left( x \right)$$ $$\Phi \left( p \right) = {1 \over {2\pi …
[数学][笔记] 随机过程中的平稳与各态历经 (Stationarity and ergodicity in random processes)
实干、实践、积累、思考、创新。 学习随机振动分析需要搞清楚 两个最重要的随机过程特性：平稳性（Stationarity ）及各态历经（ergodicity ）。 [平稳性] 指的是随机过程的概率特性（如期望值、自相关函数等）与时间无关。 [各态历经] 各态历经也称为遍历性，指的是一个平稳随机过程任意样本函数的时间平均都相等，且等于集合的平均。其最大作用是，有了各态历经假定，意味着可以通过对一个具体的样本进行分析，获得总体集合的概率特性。 一个随机过程具有平稳性，则描述起来大大简化，比如，只需要用一个概率密度函数描述各个时间点的概率分布特性，因为随机过程的概率特性不随时间改变。很多非平稳随机过程的研究，也采用以平稳过程为研究入手，然后通过某种方式进行非平稳随机修正。 如果一个平稳随机过程具有各态历经性，同样可以大大简化随机过程的分析。如前所述，有了各态历经假定，意味着可以通过分析一个具体的样本的方式获得总体集合的概率特性。如果没有各态历经，要获得随机过程的概率特性，则需要足够大的样本，进行样本间统计，这在大多数实际情况均不具备可行性。 终上所述，平稳及各态历经特性是比较理想的，并不是所有随机过程都满足，但从某种程度上讲，随机过程具有平稳及各态历经特性，研究才具有可行性啊。 相关博文( Related Topics) [01] [笔记] 随机过程中的平稳与各态历经 (Stationarity and ergodicity in random processes) [02] [振动控制] 常见质量阻尼器分类 [Passive, semi-active, active and …
[软件][编程][研究] CASD: Calculate Average and Standard Deviation Curves [平均与标准偏差曲线计算工具]
实干、实践、积累、思考、创新。 程序图标 ( Icon ) 程序介绍 ( Introduction) 小伙伴建议下编写的一个小工具，其主要功能是求解平均与标准偏差谱曲线。用户可以导入一组曲线，程序自动求解平均曲线与指定倍数标准偏差的偏差曲线。 程序可考虑正态分布和对数正态分布模型进行评估，并可将分析结果保存为文本文件或者直接输出EXCEL图表。 The basic function of the program is to calculate the average and standard deviation curves. The program can consider Normal distribution and …
[笔记][数学] 脉冲函数公式推导 [Derivation of Delta Function]
实干、实践、积累、思考、创新。 练习IPAD写字。准确来说，脉冲函数 是 单位脉冲函数。两个特性，0点无穷大，其他点为0，全局积分为1。 公众号 ( Wechat Subscription) 欢迎关注 “结构之旅” 微信公众号
[数学][几何][动画] 利萨茹（Lissajous）曲线
实干、实践、积累、思考、创新。 2018写的题目，今天填坑吧。。。。 相关博文 ( Related Topics) [01] [编程][算法][几何] 编程训练: 凸包问题 [Convex-Hull Problem] [02] [编程][算法][几何] 编程训练: 离散点的闭合路径 [Closed Path for points] [03] [编程][算法][几何] 编程训练: 3次B样条曲线 …
[数学][软件] FOUR_TRAN Example 4: Stock Periodicity and Volatility Analysis [FOUR_TRAN傅里叶分析工具 案例4: 股票周期性和波动性分析]
实干、实践、积累、思考、创新。 2020 年写的题目，现在已经是2022年了…… 这两天补上笔记 案例 ( Examples ) [01] [数学][软件] FOUR_TRAN Example 1: Filtering [FOUR_TRAN傅里叶分析工具使用案例1: 滤波] [02] …
[几何][数学] 梁跨中下挠引起的端部水平位移有多大？(How large is the end horizontal displacement caused by the midspan deflection of the beam?)
实干、实践、积累、思考、创新。 不考虑梁本身的伸长、弯曲等自身变形，单纯考虑水平放置的梁跨中发生挠度 的情况下，水平伸缩量Δ的大小。这其实是一个纯数学的推导，已经和物理无关了（PS. 题目说梁其实不对），其实说的是一根不可伸缩的直线，跨中发生挠度 ，变为两根直线后，水平伸缩量是多大。 其中 \(L\)为直线的总长度，\(\Delta \)为水平伸缩量的大小，\(X\)为直线发生倾斜变形后，水平投影长度的一半。 由总长不变，可得水平伸缩量 \(\Delta = L – 2X\) 同时 \(L\)、\(\Delta \) 及\(X\) 之间满足以下三角函数关系 \(2X = 2\sqrt {{{\left( {\frac{L}{2}} \right)}^2} – {\omega ^2}} \) 将上式代入第一个公式，可得 …
[数学][几何] 数学之心函数曲线动图
实干、实践、积累、思考，创新。 网上看到的数学之心曲线，函数是： f(x)=x2/3 + 0.9*(3.3-x*x)1/2*sin(b*π*x) 主要参数为 x,b，其中参数x2<3.3，在整个x范围内，改变b可观察到心的形状。 可以通过EXCEL绘制几组b 值下f(x)的函数曲线。 b=1 b=3 b=5 b=8 b=10 b=20 b=40 b=60 可以发现b越大，越接近心形。 最后我们可以把曲线导入之前的编写的 GAAGM软件 [软件][工具][编程] GAAGM: Graph Animation and Animated Gif Maker [曲线图动画及Gif动图生成工具]，制作漂亮的曲线动画。 相关博文 ( …
[笔记] 用Matlab进行功率谱分析为什么会出现负的功率谱密度？
实干、实践、积累、思考，创新。 最近闲暇的时候翻翻 随机振动的书，又搞到傅里叶分析，功率谱等。 在测试网上的MATLAB功率谱分析程序的时候，发现功率谱居然是负数，(又暴露了知识面的短缺， 😥 ) 后仔思考发现，主要是因为功率谱使用了 分贝 为计量单位，比如通过公式 10*log10(Pxx) 将原本的功率谱Pxx进行转换，可见当Pxx处于0~1之间的时候，通过log10(Pxx)转换出来的公式就是负数了。 微信公众号 ( Wechat Subscription) 欢迎关注 “结构之旅” 微信公众号
[数学][几何] 斐波那契螺旋线 [Fibonacci Spiral]
实干、实践、积累、思考，创新。 相关博文 ( Related Topics) [01] [编程][算法][几何] 编程训练: 凸包问题 [Convex-Hull Problem] [02] [编程][算法][几何] 编程训练: 离散点的闭合路径 [Closed Path for points] [03] [编程][算法][几何] 编程训练: 3次B样条曲线 [Cubic …
[数学][几何] 费马螺线 [Fermat’s Spiral]
实干、实践、积累、思考，创新。 费马螺线 Fermat’s spiral的极坐标公式如下： 其中其中 a 为实数，θ为转角。 对于任意给定的正值θ，可以有两个r的取值，分别按以下公式： 我们可以通过以下公式将极坐标转换为笛卡尔坐标： x = r*cos(θ)； y =r*sin(θ)； 接下来可以用过EXCEL绘制费马螺线，如下 最后我们可以把曲线导入之前的编写的 GAAGM软件 [软件][工具][编程] GAAGM: Graph Animation and Animated Gif Maker [曲线图动画及Gif动图生成工具]，制作漂亮的曲线动画。 相关博文 ( Related Topics) …
[数学][几何] 阿基米德螺旋线 (等速螺旋线) [Archimedes’ spiral]
实干、实践、积累、思考、创新。 阿基米德螺线（亦称等速螺线）(Archimedean spiral)，得名于公元前三世纪希腊数学家阿基米德。阿基米德螺线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹。更多的介绍可以参见：阿基米德螺旋线百度百科词条。 简单的说阿基米德螺线可以用极坐标表示为： r = a+b*θ； 其中其中 a 和 b 均为实数，θ为转角。当θ=0时，a为起点到极坐标原点的距离,b为螺旋线每增加单位角度r随之对应增加的数值。 我们可以通过以下公式将极坐标转换为笛卡尔坐标： x = (a+b*θ)*cos(θ)； y = (a+b*θ)*sin(θ)； 于是就可以非常简单画出图形了，废话不多说，我们用EXCEL来作图。 以下是b=0情况下， a=0及a=1000 时的螺旋线: 以下是a=0情况下， b=10及b=15时的螺旋线: 最后我们可以把曲线导入之前的编写的 GAAGM软件 [软件][工具][编程] GAAGM: Graph …
[数学][软件] FOUR_TRAN Example 3: Earthquake Ground Acceleration Frequency Spectrum Analysis [FOUR_TRAN傅里叶分析工具 案例3: 地震波频谱分析]
实干、实践、积累、思考、创新。 2020 年写的题目，现在已经是2022年了…… 这两天补上笔记 关于软件( About the Program) [01] [数学][地震动][软件] FOUR_TRAN: Fourier Analysis Tool [傅里叶分析工具] 案例 ( Examples …
[数学][编程][混沌] 虫口模型的数值模拟 [Numerical simulation of insect population model]
实干、实践、积累、思考，创新。 1976 年 , 美国数学家梅 (May .R ) 在美国 《 自然 》 杂志上发表的题为 “ 具有复杂的动力学的简单模型 ” 文章中指出 , 在生态学中一些非常简单的确定性的数学模型却能产生看似随机的行为。如虫口模型：xn+ 1= μxn ( 1 -x n )，其中 xn 是第n 年的虫口数，xn+ 1 …
[数学][编程] 蒙特卡洛模拟法求圆周率π (Monte Carlo method to find PI)
实干、实践、积累、思考，创新。 蒙特· 卡罗方法是一种通过概率来得到问题近似解的方法。其实之前也测试过，用在这个投针求PI（[数学][概率] Buffon’s Needle problem [蒲丰投针问题]），最近又搞起算法研究，顺带再整体各种东西都测算一次吧。 蒙特· 卡罗方法求圆周率PI 网上很多例子。直接上图吧。 微信公众号 ( Wechat Subscription) 欢迎关注 “结构之旅” 微信公众号
[数学][几何][结构] 等边三菱椎拉压杆桁架模型的轴力公式 [Axial force formula of equilateral Mitsubishi vertebral tension-compression truss model]
实干、实践、积累、思考，创新！ 直接看图。 微信公众号 ( Wechat Subscription) 欢迎关注 “结构之旅” 微信公众号
[笔记][几何][Rhino] 抛物线与合理拱轴线 [Parabola and reasonable arch axis]
实干、实践、积累、思考、创新。 根据结构力学的知识可知，抛物线为三铰拱（Three hinged arch）在承受满跨竖向均布荷载下的合理拱轴线，即 三铰拱 按抛物线布置，拱在满跨竖向均布荷载作用下，只受轴力，不受弯矩。基本简图如下图所示。 采用Rhino结合Grasshopper进行抛物线绘制。由于Grasshopper似乎没有直接进行抛物线绘制的电池(测试了interpolate似乎不对），所以抛物线需要通过计算方程的形式进行绘制。 抛物线的基本方程为 y=ax^2+bx+c，其中，a、b、c均为待定参数。通过3个点的坐标，可获得这三个参数。此外，过3点也可以绘制一条圆弧，顺带对比圆弧 arc 和抛物线 parabola的差异。 下图为采用Grasshopper进行圆弧及抛物线绘制的脚本， 通过拖拉Slider可以控制拱的跨度及高度，获得不同矢跨比的抛物线及圆弧的拱，下图为跨度/矢高 = 2.2857时圆弧及抛物线的对比，可以看出两个曲线的明显差异。 以下对比不同跨/高比下，圆弧及抛物线的差异 由图可见，跨高比越大，圆弧及抛物线的差异越小，当跨高比在5左右时，两者相差较小。 接下来，测算拱的受力，将跨高比为2.2857的一组圆弧及抛物线导入midas gen进行计算。 以下考虑3支座条件下（支座固接，支座铰接，三角拱：支座铰接及跨中铰接）抛物线拱的受力。由图可见，在承受满跨竖向均布荷载下，只有三角拱的弯矩为0，其他支座条件下，弯矩不为零。 从这个也可知，合理拱轴线是与支座条件相关的。（简直是废话。。。。。。） 此外顺便对比在承受满跨竖向均布荷载下，抛物线拱及圆弧拱的受力差异。由图可见，圆弧拱的弯矩远大于抛物线拱。 前面例子测试中提了，合理拱轴线与边界条件有关，其实合理拱轴线是在特定的荷载和边界条件下提出来的。抛物线作为合理拱轴线，主要是适用于三铰拱在满跨竖向均布荷载的条件下。如果三铰拱荷载不是满跨竖向均布荷载，那合理拱轴线就不是抛物线了。最经典的例子是如果荷载不是满跨竖向均布荷载，而是自重作用，那么三铰拱的合理拱轴线就是倒过来的悬链线了。 相关博文 ( Related Topics) [01] [GRASSHOPPER] Grasshopper-Midas …
[笔记][几何] 圆柱与方柱侧面积与体积之比 (The ratio of the side area to the volume of the cylinder and the square column)
坚持实干、实践、积累、思考、创新。 圆柱与方柱侧面积与体积之比，直接看下图。 The ratio of the side area to the volume of the cylinder and the square column. 由图可见： （1）随着直径或者边长的增大，AS/V减小。 （2）直径为D的圆柱与边长为D的方柱，其AS/V是一样的。 （3） 直径为D的圆柱的体积或侧面积 只有 边长为D的方柱的体积或侧面积的0.785倍。 微信公众号 ( Wechat Subscription) 欢迎关注 “结构之旅” 微信公众号
[编程][数学][几何] 编程训练: 拉梅曲线 |x|^n+|y|^n=1 号称200万的小米logo轮廓曲线 (方与圆的转变)
坚持实干、坚持一线、坚持积累、坚持思考，坚持创新。 小米新LOGO轮廓曲线。这两天很火的样子，小米这波营销可以。我们用编程实现一下。 由国际知名设计师原研哉设计，据说设计费200万。 大概如下，把原来的方形的logo通过拉梅曲线变圆润。 我们动手编程实现一下，如下图所示。 可见，当n=1是方形，当n为无穷大时也为方形，中间必然存在一个圆形，其余是椭圆过度。 方形与圆形的转换，有意思。 微信公众号 ( Wechat Subscription) 欢迎关注 “结构之旅” 微信公众号
[编程][算法][优化] 编程训练：函数的CONLIN线性化
坚持实干、坚持一线、坚持积累、坚持思考，坚持创新。 2018 12 03 挖的坑，现在来更新…… 微信公众号 ( Wechat Subscription) 欢迎关注 “结构之旅” 微信公众号 微信公众号 ( Wechat Subscription) 欢迎关注 “结构之旅” 微信公众号
[数学][算法][编程训练] 最小二乘法曲线拟合( Least square curve fitting )
坚持实干、坚持一线、坚持积累、坚持思考，坚持创新。 最小二乘法曲线拟合( Least square curve fitting )，又叫最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。 使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。在某些情况有应用。 以下是编程测试的结果。 微信公众号 ( Wechat Subscription) 欢迎关注 “结构之旅” 微信公众号
[参数化][笔记] 采光顶参数化建模分析案例 [Rhino/Grasshopper/Midas Gen]
实干、实践、积累、坚持、创新。 来自小伙伴 张俊毫 的参数化建模分享。 这是之前做过的一个类似的项目，此次对其进行精简处理，使生成逻辑更加清晰有条理，以便有利于参数化入门、初级水平读者的阅读。以下根据采光顶的生成逻辑，分成几部分进行讲述： 1.设置采光顶的整体控制参数，即控制采光顶整体定位参数“采光顶中心”，采光顶的体量参数“采光顶直径D”和“采光顶高H”,采光顶外观参数“花瓣宽度W”。 2.设置通过采光顶底板圆上的左、右端点及顶点三点生成采光顶外轮廓弧线，将弧线绕中心轴旋转360°可生成采光顶外表皮（此处为结构外表皮）。 3.通过如图所示三个点画弧线，并将此弧线镜像形成一个“花瓣”，并通过环形阵列每隔15°生成一个花瓣，这样就获得了一个莲花形的图形。 4.（1）求得“花瓣弧线”各个交点，并把交点投影到采光顶外表皮上，可获得经线、纬线方向的杆件节点。 （2）删除中心最高点和重复的点，并通过数据处理，使每组数据的点按标高进行排列，通过每组点生成多段线，即得经线方向杆件。 5.将经线方向上的点进行数据翻转处理（Flip Matrix），删除重合的点，并将点按照圆周顺序排列，连接每组点即可得到纬线方向的杆件。 6.运用Tree Branch Index电池获取纬线方向上的点中标高最高的一组，再对这组数据用Cull Pattern电池每隔一个点删除一个点，得到A组点，创建与此A组点标高相同的采光顶中心O，将O点与A组点连接创建向量（相邻两个向量夹角30°），将0点沿向量移动距离L,获得B组点，连接B组点可的顶部构件的同心多边形的内多边。将A、B组点一一对应连接得到一组射线，取射线的等分点(C组点)，控制两个等分点的间距不小L,并将B、C组点投影到采光顶外表皮，可得B’、C’组点。这样A、B’、C’就是顶部构件全部控制点，生成杆件的方法可参照经、纬线方向杆件的生成方法。 7.完成的整体参数化模型如下，可以导入midas计算软件进行结构计算啦！ 最后看看动图演示： 微信公众号 ( Wechat Subscription) 欢迎关注 “结构之旅” 微信公众号
[编程训练][游戏][数学] 红酒杯与白酒杯里到底有多少红酒和白酒？
实干、实践、积累、思考、创新。 程序图标 ( Program Icon ) 程序介绍 ( Program Introduction) 一个数学题，红酒杯与白酒杯的一道数学题。从结构求真群听来的。主要是这么一个问题，有一杯白酒和一杯红酒，从白酒杯里蒯一勺白酒倒入红酒杯里，然后再从红酒杯里蒯一勺倒入白酒杯里，问：白酒杯里的红酒多，还是红酒杯里的白酒多? 于是写这个小软件测试一下，结果也十分有趣，看完结果也恍然大悟。 首先，相互蒯一勺后，白酒杯里的红酒和红酒杯里的白酒是一样的多的。 而且，只要不断相互倒酒，那么白酒杯里的红酒和红酒杯里的白酒就会一直是一样多。 其实与每次倒酒的量无关，不管倒几次，不管每次倒的量是否相等，只要最终状态还是两杯一样多，那么就是一样。最终状态控制，以白酒杯为例，出去多少白酒，就会进来多少红酒。 而且，不断相互倒酒，当倒酒次数无限多厚，白酒杯里面的红酒和白酒，红酒杯里面的红酒和白酒就一样多了。 其实也很好理解，相互不断倒酒，无限多次地倒，相当于酒杯倒均匀了。 十分有意思。感兴趣的朋友可以下载来玩玩： Download: 红酒与白酒 White_RedWine.rar 欢迎关注 “结构之旅” 微信公众号
