[几何][数学] 梁跨中下挠引起的端部水平位移有多大?(How large is the end horizontal displacement caused by the midspan deflection of the beam?)

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不考虑梁本身的伸长、弯曲等自身变形,单纯考虑水平放置的梁跨中发生挠度 的情况下,水平伸缩量Δ的大小。这其实是一个纯数学的推导,已经和物理无关了(PS. 题目说梁其实不对),其实说的是一根不可伸缩的直线,跨中发生挠度 ,变为两根直线后,水平伸缩量是多大。

其中 \(L\)为直线的总长度,\(\Delta \)为水平伸缩量的大小,\(X\)为直线发生倾斜变形后,水平投影长度的一半。

由总长不变,可得水平伸缩量

\(\Delta = L – 2X\)

同时 \(L\)、\(\Delta \) 及\(X\) 之间满足以下三角函数关系

\(2X = 2\sqrt {{{\left( {\frac{L}{2}} \right)}^2} – {\omega ^2}} \)

将上式代入第一个公式,可得

\(\begin{array}{l}
\Delta = L – 2X\\
= L – 2\sqrt {{{\left( {\frac{L}{2}} \right)}^2} – {\omega ^2}} \\
= L – 2\sqrt {{{\left( {\frac{L}{2}} \right)}^2}\left( {1 – {\omega ^2}{{\left( {\frac{2}{L}} \right)}^2}} \right)} \\
= L – L\sqrt {\left( {1 – {{\left( {\frac{{2\omega }}{L}} \right)}^2}} \right)}
\end{array}\)

根据泰勒公式 (Taylor formula),可对函数\(\sqrt {1 – x} \)在 \(x{\rm{ = }}0\)处进行展开(即获得麦克劳林公式),并取前两项,当\(x\)为微小量时,有

\(\sqrt {1 – x} \approx 1 – \frac{1}{2}x\)

于是可得,当 \(\frac{\omega }{L}\)是微小量时有

\(\sqrt {\left( {1 – {{\left( {\frac{{2\omega }}{L}} \right)}^2}} \right)} \approx 1 – \frac{1}{2}{\left( {\frac{{2\omega }}{L}} \right)^2}\)

则水平伸缩量变为

\(\begin{array}{l}
\Delta = L – L\sqrt {\left( {1 – {{\left( {\frac{{2\omega }}{L}} \right)}^2}} \right)} \\
\approx L – L\left( {1 – \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{2\omega }}{L}} \right)}^2}} \right)\\
\approx 2\frac{{{\omega ^2}}}{L}
\end{array}\)

可见,水平缩短量\(\Delta \)约为\(\frac{{{\omega ^2}}}{L}\)的两倍,当\(\omega \)为微小量时,水平缩短量\(\Delta \)是比\(\omega \)更高阶的微小量。

虽然上面分析的不是一根实际的梁,但从上面的推导也可以发现,对于一些常规的几何非线性可忽略的梁,梁跨中下挠引起的端部水平位移其实是非常小的,大致为\(2\frac{{{\omega ^2}}}{L}\)这个量级。当然,如果计算精确的梁的水平位移,需要建立微分方程的方法来推导,或者开个大变形用FEM计算。


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4 thoughts on “[几何][数学] 梁跨中下挠引起的端部水平位移有多大?(How large is the end horizontal displacement caused by the midspan deflection of the beam?)

  1. 也么哥 Reply

    有意思的问题。简单计算的话,截面形心轴所在轴线处的轴向位移为零,支座截面底部出现向外轴向位移,位移值大约为梁端转角乘以形心高度。

    • CJD Post authorReply

      一般情况这个水平变形是很小的,基本可忽略,如果要从计算上去算,那有限元分析得考虑大变形几何非线性。

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