[结构][设计][规范] 关于结构倾覆力矩计算公式的另一种理解

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说到结构倾覆力矩,搞过设计的朋友可能最先会想到以下这个公式:

$${M_{\rm{c}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {{V_{ij}}{h_i}} } $$

该公式来源于《抗规》6.1.3条的条文说明,原条文其中,\(M_{\rm{c}}\)为规定侧向力作用下结构底层的框架倾覆力矩,\(V_{ij}\)表示第i层第j根框架柱的计算地震力,\(h_i\)为结构第i层的层高,为框架i层的柱的根数,为结构的层数。若将该公式推广到通用的情况,不仅是计算底层的倾覆弯矩,而是用于计算特定楼层的倾覆弯矩,同时将层高放到第一层连加符号的外面,则可得到公式\({M_j} = \sum\limits_{i = j}^n {{V_i}{h_i}}\),其中,\({V_i}\)表示结构第i层的楼层剪力,\({h_i}\)为结构第i层的层高,\({M_j}\)为结构第j层的倾覆弯矩,该公式指的是结构第j层的倾覆弯矩等于第j层及以上楼层的剪力与层高乘积的叠加。

最初看\({M_j} = \sum\limits_{i = j}^n {{V_i}{h_i}}\)这个公式时,是及其不直观的,因为说到倾覆力矩,可能大多数人最开始想到的都是侧向力乘以力臂的方式,因为我们最初学力学的时候就是这样,力乘以力臂就形成弯矩。接下来我们不妨重新来推导一次这个很多人都推导过的公式,看怎么从侧向力乘以力臂一步步推导到剪力乘以层高。

如下图所示,以一个三层高的结构为例,各层层高分别为h1,h2,h3,各楼层的侧向力分别为F1,F2,F3,各层的楼层剪力分别为V1,V2,V3。,相应结构各层的倾覆弯矩分别为M1,M2,M3。

图1 倾覆力矩模型

根据力与力臂乘积为力矩及外力与剪力之间的关系,我们可以得以下推导:

(1)第3层的倾覆弯矩

\({M_3} = {F_3} \times {h_3} = {V_3} \times {h_3}\)

(2)第2层的倾覆弯矩

\(\begin{array}{l}
{M_2} = {F_3} \times \left( {{h_3} + {h_2}} \right) + {F_2} \times {h_2} = \left( {{F_3} + {F_2}} \right) \times {h_2} + {F_3} \times {h_3} = {V_2} \times {h_2} + {V_3} \times {h_3}\\\end{array}\)

(3)第1层的倾覆弯矩

\(\begin{array}{l}
{M_1} = {F_3} \times \left( {{h_3} + {h_2} + {h_1}} \right) + {F_2} \times \left( {{h_2} + {h_1}} \right) + {F_1} \times {h_1}\\
= \left( {{F_3} + {F_2} + {F_1}} \right) \times {h_1} + \left( {{F_3} + {F_2}_1} \right) \times {h_2} + {F_3} \times {h_3} = {V_1} \times {h_1} + {V_2} \times {h_2} + {V_3} \times {h_3}
\end{array}\)
当我们再把这三个公式简略的写一下:

\({M_3} = {V_3} \times {h_3}\)

\({M_2} = {V_2} \times {h_2} + {V_3} \times {h_3}\)

\({M_1} = {V_1} \times {h_1} + {V_2} \times {h_2} + {V_3} \times {h_3}\)

这不就是一个弯矩线性叠加的计算公式,如下图红色的箭头的力矩逐层传递:

其实,图1结构的倾覆力矩是与以下图2结构的倾覆力矩是等效的。

图2 倾覆力矩等效模型

剪力与层高的乘积相当于在该楼层施加了一个弯矩\({M’_i} = {V_i} \times {h_i}\)。其中\(M_1′ = {V_1} \times {h_1}\),\(M_2′ = {V_2} \times {h_2}\),\(M_3′ = {V_3} \times {h_3}\)。图2所示就是一个沿楼层逐层施加倾覆弯矩的形式,结构第j层的倾覆弯矩等于第j层及以上楼层施加的力矩\(M_i’\)的和,即:

$${M_j} = \sum\limits_{i = j}^n {M_i’} = \sum\limits_{i = j}^n {{V_i}{h_i}}$$

其中,\(M_i’\)为各楼层剪力产生的弯矩。因此基底倾覆弯矩的实质就是各楼层剪力在各层产生的弯矩的总和。

最后我们再把两个图放一起,如下图所示:

图3 倾覆力矩的等效过程

这下我们可能就比较有感觉了:

(1)左图可以说是最原始最暴力的,但是也是最难记忆的,你可以记得各种复杂的Fxh并叠加,但是你永远记不得各层的倾覆弯矩是怎么个具体的F*h,因为这个是最暴力的,最原始的,只是过程本身,并无抽象。

(2)右图可以说是左图计算过程的一种抽象及理解,是简洁和凝练的,看起来就很舒服了。似乎我们总是喜欢简洁的东西,也只能记得住简洁的东西。

所以,最开始我们看到倾覆力矩,我们是想到F*h的过程,当有了左图到右图这个过程后,再说到倾覆力矩的时候,可能就不再是先想起F*h的过程了,而是直接就想到了右边最简洁的方式。

好了,又写了一篇水文,大家多多关注公众号。祝天下母亲母亲节快乐。


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2 thoughts on “[结构][设计][规范] 关于结构倾覆力矩计算公式的另一种理解

  1. zcm Reply

    文中有几处笔误:
    第二层:h3 ,v3 应为 h2,v2

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