[数学] Laplace Transform [拉普拉斯变换公式]

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拉普拉斯变换，导数及二阶导数的拉普拉斯变换公式整理：

#### 1. 拉普拉斯变换定义
函数 $f(t)$的拉普拉斯变换定义为：
$$
\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt
$$
其中 $ s = \sigma + j\omega $是复频率参数。

#### 2. 一阶导数的拉普拉斯变换
**推导过程**：
$$
\begin{align*}
\mathcal{L}\{f'(t)\}
&= \int_0^\infty e^{-st} f'(t) dt \\
&= \left[ e^{-st} f(t) \right]_0^\infty + s \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt \quad \text{(分部积分)} \\
&= \lim_{t \to \infty} \left( e^{-st} f(t) \right) – f(0) + s F(s) \\
&= s F(s) – f(0) \quad \text{(收敛条件: } \lim_{t \to \infty} e^{-st} f(t) = 0\text{)}
\end{align*}
$$

**结果**：
$$
\boxed{\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) – f(0)}
$$

#### 3. 二阶导数的拉普拉斯变换
**推导过程**：
$$
\begin{align*}
\mathcal{L}\{f”(t)\}
&= \mathcal{L}\left\{ \frac{d}{dt}[f'(t)] \right\} \\
&= s \cdot \mathcal{L}\{f'(t)\} – f'(0) \quad \text{(应用一阶结论)} \\
&= s \left[ sF(s) – f(0) \right] – f'(0) \\
&= s^2 F(s) – s f(0) – f'(0)
\end{align*}
$$

**结果**：
$$
\boxed{\mathcal{L}\{f”(t)\} = s^2F(s) – sf(0) – f'(0)}
$$

PS. 拉普拉斯变换，表示的是输入与响应在复数域内的映射关系。

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