[数学] Laplace Transform [拉普拉斯变换公式]

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拉普拉斯变换，导数及二阶导数的拉普拉斯变换公式整理：

#### 1. 拉普拉斯变换定义
函数 $f(t)$的拉普拉斯变换定义为：
$$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}f(t)dt$$
其中 $s=\sigma +j\omega$是复频率参数。

#### 2. 一阶导数的拉普拉斯变换
**推导过程**：
$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}{f}^{\prime }(t)dt\\ & ={[e^{-st}f(t)]}_0^{\mathrm{\infty }}+s{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}f(t)dt\text{(分部积分)}\\ & =\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}(e^{-st}f(t))–f(0)+sF(s)\\ & =sF(s)–f(0)\text{(收敛条件: }\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-st}f(t)=0\text{)}\end{array}$$

**结果**：
$$\boxed{{\displaystyle \mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}=sF(s)–f(0)}}$$

 

#### 3. 二阶导数的拉普拉斯变换
**推导过程**：
$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}\{f”(t)\}& =\mathcal{L}\{\frac{d}{dt}[f^{\prime }(t)]\}\\ & =s\cdot \mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}–f^{\prime }(0)\text{(应用一阶结论)}\\ & =s[sF(s)–f(0)]–f^{\prime }(0)\\ & =s^{2}F(s)–sf(0)–f^{\prime }(0)\end{array}$$

**结果**：
$$\boxed{{\displaystyle \mathcal{L}\{f”(t)\}=s^{2}F(s)–sf(0)–f^{\prime }(0)}}$$

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PS. 拉普拉斯变换，表示的是输入与响应在复数域内的映射关系。

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