[笔记][几何][Rhino] 抛物线与合理拱轴线 [Parabola and reasonable arch axis]

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根据结构力学的知识可知,抛物线为三铰拱(Three hinged arch)在承受满跨竖向均布荷载下的合理拱轴线,即 三铰拱 按抛物线布置,拱在满跨竖向均布荷载作用下,只受轴力,不受弯矩。基本简图如下图所示。

采用Rhino结合Grasshopper进行抛物线绘制。由于Grasshopper似乎没有直接进行抛物线绘制的电池(测试了interpolate似乎不对),所以抛物线需要通过计算方程的形式进行绘制。

抛物线的基本方程为 y=ax^2+bx+c,其中,a、b、c均为待定参数。通过3个点的坐标,可获得这三个参数。此外,过3点也可以绘制一条圆弧,顺带对比圆弧 arc 和抛物线 parabola的差异。

下图为采用Grasshopper进行圆弧及抛物线绘制的脚本,

通过拖拉Slider可以控制拱的跨度及高度,获得不同矢跨比的抛物线及圆弧的拱,下图为跨度/矢高 = 2.2857时圆弧及抛物线的对比,可以看出两个曲线的明显差异。

以下对比不同跨/高比下,圆弧及抛物线的差异

由图可见,跨高比越大,圆弧及抛物线的差异越小,当跨高比在5左右时,两者相差较小。

接下来,测算拱的受力,将跨高比为2.2857的一组圆弧及抛物线导入midas gen进行计算。

以下考虑3支座条件下(支座固接,支座铰接,三角拱:支座铰接及跨中铰接)抛物线拱的受力。由图可见,在承受满跨竖向均布荷载下,只有三角拱的弯矩为0,其他支座条件下,弯矩不为零。

从这个也可知,合理拱轴线是与支座条件相关的。(简直是废话。。。。。。

此外顺便对比在承受满跨竖向均布荷载下,抛物线拱及圆弧拱的受力差异。由图可见,圆弧拱的弯矩远大于抛物线拱。

前面例子测试中提了,合理拱轴线与边界条件有关,其实合理拱轴线是在特定的荷载和边界条件下提出来的。抛物线作为合理拱轴线,主要是适用于三铰拱满跨竖向均布荷载的条件下如果三铰拱荷载不是满跨竖向均布荷载,那合理拱轴线就不是抛物线了。最经典的例子是如果荷载不是满跨竖向均布荷载,而是自重作用,那么三铰拱的合理拱轴线就是倒过来的悬链线了。


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