[结构][设计][规范] 关于结构倾覆力矩计算公式的另一种理解

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说到结构倾覆力矩，搞过设计的朋友可能最先会想到以下这个公式：

$${M_{\rm{c}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {{V_{ij}}{h_i}} } $$

该公式来源于《抗规》6.1.3条的条文说明，原条文其中，$M_{\rm{c}}$为规定侧向力作用下结构底层的框架倾覆力矩，$V_{ij}$表示第i层第j根框架柱的计算地震力，$h_i$为结构第i层的层高，为框架i层的柱的根数，为结构的层数。若将该公式推广到通用的情况，不仅是计算底层的倾覆弯矩，而是用于计算特定楼层的倾覆弯矩，同时将层高放到第一层连加符号的外面，则可得到公式${M_j} = \sum\limits_{i = j}^n {{V_i}{h_i}}$，其中，${V_i}$表示结构第i层的楼层剪力，${h_i}$为结构第i层的层高，${M_j}$为结构第j层的倾覆弯矩，该公式指的是结构第j层的倾覆弯矩等于第j层及以上楼层的剪力与层高乘积的叠加。

最初看${M_j} = \sum\limits_{i = j}^n {{V_i}{h_i}}$这个公式时，是及其不直观的，因为说到倾覆力矩，可能大多数人最开始想到的都是侧向力乘以力臂的方式，因为我们最初学力学的时候就是这样，力乘以力臂就形成弯矩。接下来我们不妨重新来推导一次这个很多人都推导过的公式，看怎么从侧向力乘以力臂一步步推导到剪力乘以层高。

如下图所示，以一个三层高的结构为例，各层层高分别为h1，h2，h3，各楼层的侧向力分别为F1，F2，F3，各层的楼层剪力分别为V1，V2，V3。，相应结构各层的倾覆弯矩分别为M1，M2，M3。

图1 倾覆力矩模型

根据力与力臂乘积为力矩及外力与剪力之间的关系，我们可以得以下推导：

(1）第3层的倾覆弯矩

${M_3} = {F_3} \times {h_3} = {V_3} \times {h_3}$

（2）第2层的倾覆弯矩

$\begin{array}{l}
{M_2} = {F_3} \times \left( {{h_3} + {h_2}} \right) + {F_2} \times {h_2} = \left( {{F_3} + {F_2}} \right) \times {h_2} + {F_3} \times {h_3} = {V_2} \times {h_2} + {V_3} \times {h_3}\\\end{array}$

（3）第1层的倾覆弯矩

$\begin{array}{l}
{M_1} = {F_3} \times \left( {{h_3} + {h_2} + {h_1}} \right) + {F_2} \times \left( {{h_2} + {h_1}} \right) + {F_1} \times {h_1}\\
= \left( {{F_3} + {F_2} + {F_1}} \right) \times {h_1} + \left( {{F_3} + {F_2}_1} \right) \times {h_2} + {F_3} \times {h_3} = {V_1} \times {h_1} + {V_2} \times {h_2} + {V_3} \times {h_3}
\end{array}$
当我们再把这三个公式简略的写一下：

${M_3} = {V_3} \times {h_3}$

${M_2} = {V_2} \times {h_2} + {V_3} \times {h_3}$

${M_1} = {V_1} \times {h_1} + {V_2} \times {h_2} + {V_3} \times {h_3}$

这不就是一个弯矩线性叠加的计算公式，如下图红色的箭头的力矩逐层传递：

其实，图1结构的倾覆力矩是与以下图2结构的倾覆力矩是等效的。

图2 倾覆力矩等效模型

剪力与层高的乘积相当于在该楼层施加了一个弯矩${M’_i} = {V_i} \times {h_i}$。其中$M_1′ = {V_1} \times {h_1}$，$M_2′ = {V_2} \times {h_2}$，$M_3′ = {V_3} \times {h_3}$。图2所示就是一个沿楼层逐层施加倾覆弯矩的形式，结构第j层的倾覆弯矩等于第j层及以上楼层施加的力矩$M_i’$的和，即：

$${M_j} = \sum\limits_{i = j}^n {M_i’} = \sum\limits_{i = j}^n {{V_i}{h_i}}$$

其中，$M_i’$为各楼层剪力产生的弯矩。因此基底倾覆弯矩的实质就是各楼层剪力在各层产生的弯矩的总和。

最后我们再把两个图放一起，如下图所示：