•  反应谱的基本概念(Introduction to Response Spectra

地震动反应谱:单自由度弹性系统对于某个实际地震加速度的最大反应(可以是加速度、速度和位移)和体系的自振特征(自振周期或频率和阻尼比)之间的函数关系。工程中常用到反应谱的概念,如,我们目前采用的是基于反应谱的抗震设计方法、在静力弹塑性分析的时候我们还需要用到反应谱、在动力时程分析选择地震波的时候,我们还常需要以规范的设计反应谱为参考,要求选择的地震波的反应谱和设计反应谱相比不能偏差过大。

  • 反应谱的理论公式(Basic Equations of Response Spectra) 

SDOF-System

单自由度地震作用下的动力方程:

Equation-1

Equation-2

从公式(2-5)可知,结构的地震动响应只和 3 个变量有关:地面加速度(ug)、结构的阻尼比(ξ)和无阻尼结构体系的圆频率(ω)。因此对于一个给定的地震动,结构的位移响应ur 是圆频率(ω)和阻尼比(ξ)的函数。根据反应谱的概念,对于特定的地震波,只要选定阻尼比ξ,结构的最大响应(包括,速度、位移和加速度)是结构频率ω的函数,对一条特定的地震波,圆频率(ω)取不同的值进行动力时程分析,将获得响应最大值作为纵坐标,圆频率(ω)为横坐标绘图,就得到反应谱曲线。

  • 常用的地震反应谱(Commonly used Response Spectra

(1)反应谱(Response Spectra

当最大响应分别取相对位移、相对速度、绝对加速度时,我们可获得以下反应谱:

相对位移反应谱:

Equation-3

相对速度反应谱:

Equation-4

绝对加速度反应谱:

Equation-5

(2)伪反应谱(Pseudo-Response Spectra

另外,工程中还常用到伪反应谱。所谓伪反应谱是指,当我们获得相对位移位移反应谱后,通过以下公式获得伪相对速度反应谱、伪绝对加速度反应谱:

伪相对速度反应谱:

Equation-6

伪绝对加速度反应谱:

Equation-7

事实上,在基于强度的设计方法里,常用的是伪绝对加速度反应谱 PSA (ξ ω),而不是绝对加速度反应谱 SA (ξ ω)。原因是,我们基于反应谱的设计方法实际上是一种等效静力设计方法。所谓等效静力法的意思是,结构在地震作用下是一个动力过程,但是动力方程太复杂,还是希望采用一种静力的思维方式( F=ku )来设计结构,只要保证设计出来的结构其变形( F /k )与结构在真实地震动作用下的变形ur 相等就可以了。

以单自由度为例进行说明,如下公式是单自由度的地震加速度作用下的动力方程:
Equation-8

将以上公式移项可得:

Equation-9

假设上式中结构的位移响应ur为真实地震动作用下的值,则kur对应一个等效静力,其左边除了绝对加速度产生的惯性力Equation-10 外,还有一个阻尼项Equation-11

如果我们的设计反应谱为绝对加速度反应谱,也就是说采用Equation-10(即设计内力取结构的真实惯性力),那么在给定 k (设计时候给定截面尺寸、从而确定构件的刚度)的情况下,按内力 Equation-10设计的构件,其在真实地震动作用下的变形和按静力思维获得的变形Equation-12不相同。或者换句话来说,按 Equation-10设计的结构,其是否能承受预期的地震动是不准确的。回想我们做结构设计的时候,我们确实都采用反应谱法计算力,并直接用计算出来的力进行配筋了,并没有考虑到阻尼项Equation-11对力进行修正。

那么,问题出在哪?设计内力不取Equation-10,那么应该取什么。我们可以反过来思考,为了保证设计出来的结构其变形( F/ k )与结构在真实地震动作用下的变形ur相等,则设计内力必须为F=kur 。对于单自由度体系,由公式(2-4)可知, k=mω2= 。则设计内力应该为 F=mω2ur。由于动力时程结果有很多点,设计时我们关心的是最大响应,则有:

Equation-13

由伪加速度反应谱的公式可以得:

Equation-14

从公式(3-2)可知,只要我们采用伪加速度反应谱,以F =mPSA(ξ ,ω)为设计内力,那么设计出来的结构就可以承受该地震。因此,一般情况,规范的设计反应谱是绝对加速度反应谱,而且应该是基于伪绝对加速度反应谱建立。

对于多自由体系,其基本概念也是一样的,只不过是多了振型分解与组合的过程。

同时我们必须注意,上述阐述都是以结构相对位移ur 为基础考虑的。如果我们比较关心的是真实的绝对加速度或者相对速度,那么在使用规范反应谱的时候就要注意。

(3)反应谱和伪反应谱的关系(Relation between Response Spectra and Pseudo-Response Spectra

任意荷载作用下单自由度的响应可以用杜哈梅积分(Duhamel’s integral)来计算:

Equation-15

将荷载p(τ) 替换Equation-19u(t) 替换为ur (t)将可得地震作用下单自由度体系的位移响应:

Equation-16

则位移反应谱和加速度反应谱分别为:

Equation-17其中:
Equation-18

从公式(3-6)可以知,当阻尼比ξ=0时,Equation-20,伪反应谱和反应谱相等。当考虑阻尼的时候,阻尼越大,伪反应谱和反应谱相差越大。

  • 反应谱的数值计算方法与程序(Numerical methods and Program for Response Spectra

有了上面的概念之后,我们就可以计算反应谱了。对于一般的加速度时程,常采用数值计算方法计算反应谱。数值计算方法又分为多种,有频域的有时域的。常用的时域计算方法有:精确逐步积分算法、常加速度法、线性加速度法、中心差分法、Newmark 法等。 目前常用的地震波反应谱计算软件有 SeismoSignal,该软件可以利用教育邮箱免费申请使用。利用数值计算方法,我们也可以自己编制地震波反应谱计算程序。

本文,编制了地震反应谱分析程序—SPECTR,用于批量计算反应谱,程序界面如下:

SPECTR-1

SPECTR-2

SPECTR-About

SPECTR 除了提供反应谱计算外,还可以对加速度时程进行基线修正和积分。

关于SPECTR的更多信息将会在接下来的博文中进行介绍。

SPECTR是免费的,可以在我的网站:www.jdcui.com 进行下载。

  • 小结(Conclusions

总结了地震反应谱的基本概念、基本公式、对反应谱和伪反应谱的概念进行了阐述,并编制了地震反应谱计算软件 SPECTR。如有错误或遗漏,欢迎大家批评指正。

  • 参考文献(References

[1] Chopra AK. Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering. Prentice-Hall: New Jersey, 2012.
[2] Clough RW, Penzien J. Dynamics of Structures. McGraw-Hill: New York, 1993

  • 注释(Comments

如有错误或者遗漏欢迎大家给我指出。有任何意见和建议,也欢迎大家联系我,我的邮箱:jidong_cui@163.com 。

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8 Comments

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  1. Zongcheng Liu says:

    崔博您好 :wink: ,在“伪反应谱部分”发现两个书写小错误:
    1.由上述公式移项可得,正负号不对;
    2.“由公式2-4可知”后面的公式多写了个“=”。

  2. CJD says:

    @Zongcheng Liu  感谢您认真阅读,并指出错误。十分感谢。

  3. 南理工李治国 says:

    谢谢博士,你这么乐于助人,分享这么多软件和文章,不做老师真是可惜了,对于学生来讲是个损失。

  4. CJD says:

    @南理工李治国  相互帮助,共同进步

  5. 一会一世 says:

    :lol: 很好,很详细,简单易懂。

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