[振动控制] 简谐激励下强迫振动复数解法与实数解法的等效性 [Equivalence of Complex and Real Solutions for Harmonically Excited Forced Vibration]

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在学习动力学与结构振动控制相关内容时，复数解法常用于分析简谐激励下的强迫振动问题。回想起在校初学此部分时，常感到困惑。随着后续深入理解，才认识到其背后的实质：简谐激励下的强迫振动问题，复数解法与实数解法（三角函数法）在数学上是完全等效的。复数解法的优势在于推导过程更为简洁，尤其在处理高阶系统或多频激励时显得更为高效。

以下以单自由度简谐激励受迫振动为例，对这两种方法的等效性作一简要总结。

三角函数激励作用下，单自由度动力体系动力平衡方程如下：

\[m\ddot x + c\dot x + kx = F\cos \left( {\omega t} \right)\]

也可表示为正弦函数激励的形式

\[m\ddot x + c\dot x + kx = F\sin \left( {\omega t} \right)\]

上述就是实数解法，如果换成复数解法，如下

首先，将外力变为复指数函数形式，即

\[f = F{e^{i\omega t}}\]

此时系统运动方程变为：

\[m\ddot z + c\dot z + k{\rm{z}} = F{e^{i\omega t}}\]

利用强大的欧拉公式Euler’s formula：

\[{e^{i\omega t}} = {\cos \omega t + i\sin \omega t} \]

系统运动方程进一步变为：

\[m\ddot z + c\dot z + k{\rm{z}} = F{e^{i\omega t}} = F\left( {\cos \omega t + i\sin \omega t} \right)\]

不妨设复数响应为：

\[\left\{ \begin{array}{l}
z = x + iy\\
\dot z = \dot x + i\dot y\\
\ddot z = \ddot x + i\ddot y
\end{array} \right.\]

其中，\( x\)是复位移响应的实部， \( y\)为复位移响应的虚部，上述变量均为时程变量。

将上述公式代入复振动方程，并根据等号两侧实部和虚部分别相等的原则，可以得到：

\[\left\{ \begin{array}{l}
m\ddot x + c\dot x + kx = F\cos \left( {\omega t} \right)\\
m\ddot y + c\dot y + ky = F\sin \left( {\omega t} \right)
\end{array} \right.\]

由此可见，复数形式振动方程的实部与虚部分别对应于实数域下的三角函数解。这表明复数解法与实数解法（三角函数法）在数学上完全等效。一旦求得系统的复振动响应，只需取该解的实部或虚部，即可得到相应的实数解。若仅需获取响应的振幅（即实部或虚部的最大值），可直接对复振动响应取模。因此，复振动响应的模长即为实数解的振幅。

此外，由于复指数函数在微积分运算上具有显著优势，使得复数解法在整个推导过程中更为简洁高效。通过简洁的代数运算即可求得复数解，其解本身便直接蕴含了振幅与相位等关键响应信息。这一方法在处理多频简谐激励叠加等复杂问题时，优势尤为突出。因此，深入理解复数解法是掌握振动控制理论的重要基础。