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  • 三联反应谱的基本概念(Basic Concept of Tripartite Response Spectra

地震反应谱是结构抗震分析与设计中的重要工具。结构抗震设计中常用的反应谱主要包括位移谱SdDisplacement Response Spectra)、伪加速度谱SpaPseudo-Acceleration Response Spectra)及伪速度谱SpvPseudo-Velocity Response Spectra)。三者之间存在以下关系:

SD-SA-SV

由上式可见,三种反应谱之间存在一一相互对应关系。

对上式左右两边取对数,可得以下关系:

log-SD-SA-SV

由以上关系可见:(1)当谱加速度为常数时,谱速度和周期之间呈线性关系,为沿45°斜直线方向;(2)当谱位移为常数时,谱速度和周期之间呈线性关系,为沿-45°斜直线方向;利用上述关系,可以将位移谱SdDisplacement Reponse Spectra)、伪加速度谱SpaPseudo-Acceleration Response Spectra)及伪速度谱SpvPseudo-Velocity Response Spectra)统一表述到4对数坐标系(Four-Way Logarithmic Graphs)中,相应的反应谱称为三联反应谱(Response Spectra Tripartite Plot)。

典型的四对数坐标系下三联反应谱如下图所示:

TripartitePlot

  • 三联反应谱实例(Example of Tripartite Response Spectra

以下结合SPECTR软件对一个地震波(chi-chi)进行反应谱分析,并采用MATLAB绘制三联反应谱。

(1)打开SPECTR,将地震波导入

SPECTR_ACC

(2)计算反应谱

计算阻尼比分别为0%、2%、5%、10%及20%的各类反应谱曲线,其中反应谱的最大周期取50s。

a. 位移反应谱

SPECTR-SD

b. 伪速度反应谱

SPECTR_SV

c. 伪加速度反应谱

SPECTR-SA

d. 三联反应谱

利用推导的反应谱之间的对数线性公式及前面计算的伪速度反应谱,绘制三联反应谱,如下图所示。

TripartitePlot

c. 查看阻尼比为0%,周期Tn=1s的各类反应谱值。

根据SPECTR的计算结果,查得,Tn=1s,伪速度谱值Spv =48.956cm/s,位移谱值Sd = 7.791cm,伪加速度反应谱0.31387g,这点可以按下图蓝色虚线箭头指引在三联反应谱中进行验证和查看。

Tripartite Plot_T1

  • 三联反应谱的特征(Characteristics of Tripartite Response Spectra

采用三联反应谱的主要目的不是为了查看各反应谱的具体数值(PS.毕竟对数坐标十分难看)。主要是通过三联反应谱能够观察到单个反应谱无法观察到的特性。通过三联反应谱可以较为清晰地看出反应谱的区间性:加速度敏感区(Acceleration Sensitive Region)、速度敏感区(Velocity Sensitive Region)及位移敏感区(Displacement Sensitive Region),如下图所示。

Spectral_Regions

如上图所示,对于本例,加速度敏感区的大致周期范围为[0s~0.5s]、速度敏感区的大致周期范围为[0.5s~3s],当周期大于3s时为位移敏感区。

另外,规范的平滑设计反应谱也是在对数坐标系下拟合得到的。

  • 相关博文(Related Posts

[1] Earthquake Response Spectra [地震反应谱]

[2] SPECTR – A program for Response Spectra Analysis [反应谱计算程序]

[3] 地震反应谱的特性(The Characteristics of Earthquake Response Spectrum)

  • 注释(Comments

如有错误或者遗漏欢迎大家给我指出。有任何意见和建议,也欢迎大家联系我,我的邮箱:jidong_cui@163.com 。( Contact me via Email : jidong_cui@163.com )

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  •  反应谱的基本概念(Introduction to Response Spectra

地震动反应谱:单自由度弹性系统对于某个实际地震加速度的最大反应(可以是加速度、速度和位移)和体系的自振特征(自振周期或频率和阻尼比)之间的函数关系。工程中常用到反应谱的概念,如,我们目前采用的是基于反应谱的抗震设计方法、在静力弹塑性分析的时候我们还需要用到反应谱、在动力时程分析选择地震波的时候,我们还常需要以规范的设计反应谱为参考,要求选择的地震波的反应谱和设计反应谱相比不能偏差过大。

  • 反应谱的理论公式(Basic Equations of Response Spectra) 

SDOF-System

单自由度地震作用下的动力方程:

Equation-1

Equation-2

从公式(2-5)可知,结构的地震动响应只和 3 个变量有关:地面加速度(ug)、结构的阻尼比(ξ)和无阻尼结构体系的圆频率(ω)。因此对于一个给定的地震动,结构的位移响应ur 是圆频率(ω)和阻尼比(ξ)的函数。根据反应谱的概念,对于特定的地震波,只要选定阻尼比ξ,结构的最大响应(包括,速度、位移和加速度)是结构频率ω的函数,对一条特定的地震波,圆频率(ω)取不同的值进行动力时程分析,将获得响应最大值作为纵坐标,圆频率(ω)为横坐标绘图,就得到反应谱曲线。

  • 常用的地震反应谱(Commonly used Response Spectra

(1)反应谱(Response Spectra

当最大响应分别取相对位移、相对速度、绝对加速度时,我们可获得以下反应谱:

相对位移反应谱:

Equation-3

相对速度反应谱:

Equation-4

绝对加速度反应谱:

Equation-5

(2)伪反应谱(Pseudo-Response Spectra

另外,工程中还常用到伪反应谱。所谓伪反应谱是指,当我们获得相对位移位移反应谱后,通过以下公式获得伪相对速度反应谱、伪绝对加速度反应谱:

伪相对速度反应谱:

Equation-6

伪绝对加速度反应谱:

Equation-7

事实上,在基于强度的设计方法里,常用的是伪绝对加速度反应谱 PSA (ξ ω),而不是绝对加速度反应谱 SA (ξ ω)。原因是,我们基于反应谱的设计方法实际上是一种等效静力设计方法。所谓等效静力法的意思是,结构在地震作用下是一个动力过程,但是动力方程太复杂,还是希望采用一种静力的思维方式( F=ku )来设计结构,只要保证设计出来的结构其变形( F /k )与结构在真实地震动作用下的变形ur 相等就可以了。

以单自由度为例进行说明,如下公式是单自由度的地震加速度作用下的动力方程:
Equation-8

将以上公式移项可得:

Equation-9

假设上式中结构的位移响应ur为真实地震动作用下的值,则kur对应一个等效静力,其左边除了绝对加速度产生的惯性力Equation-10 外,还有一个阻尼项Equation-11

如果我们的设计反应谱为绝对加速度反应谱,也就是说采用Equation-10(即设计内力取结构的真实惯性力),那么在给定 k (设计时候给定截面尺寸、从而确定构件的刚度)的情况下,按内力 Equation-10设计的构件,其在真实地震动作用下的变形和按静力思维获得的变形Equation-12不相同。或者换句话来说,按 Equation-10设计的结构,其是否能承受预期的地震动是不准确的。回想我们做结构设计的时候,我们确实都采用反应谱法计算力,并直接用计算出来的力进行配筋了,并没有考虑到阻尼项Equation-11对力进行修正。

那么,问题出在哪?设计内力不取Equation-10,那么应该取什么。我们可以反过来思考,为了保证设计出来的结构其变形( F/ k )与结构在真实地震动作用下的变形ur相等,则设计内力必须为F=kur 。对于单自由度体系,由公式(2-4)可知, k=mω2= 。则设计内力应该为 F=mω2ur。由于动力时程结果有很多点,设计时我们关心的是最大响应,则有:

Equation-13

由伪加速度反应谱的公式可以得:

Equation-14

从公式(3-2)可知,只要我们采用伪加速度反应谱,以F =mPSA(ξ ,ω)为设计内力,那么设计出来的结构就可以承受该地震。因此,一般情况,规范的设计反应谱是绝对加速度反应谱,而且应该是基于伪绝对加速度反应谱建立。

对于多自由体系,其基本概念也是一样的,只不过是多了振型分解与组合的过程。

同时我们必须注意,上述阐述都是以结构相对位移ur 为基础考虑的。如果我们比较关心的是真实的绝对加速度或者相对速度,那么在使用规范反应谱的时候就要注意。

(3)反应谱和伪反应谱的关系(Relation between Response Spectra and Pseudo-Response Spectra

任意荷载作用下单自由度的响应可以用杜哈梅积分(Duhamel’s integral)来计算:

Equation-15

将荷载p(τ) 替换Equation-19u(t) 替换为ur (t)将可得地震作用下单自由度体系的位移响应:

Equation-16

则位移反应谱和加速度反应谱分别为:

Equation-17其中:
Equation-18

从公式(3-6)可以知,当阻尼比ξ=0时,Equation-20,伪反应谱和反应谱相等。当考虑阻尼的时候,阻尼越大,伪反应谱和反应谱相差越大。

  • 反应谱的数值计算方法与程序(Numerical methods and Program for Response Spectra

有了上面的概念之后,我们就可以计算反应谱了。对于一般的加速度时程,常采用数值计算方法计算反应谱。数值计算方法又分为多种,有频域的有时域的。常用的时域计算方法有:精确逐步积分算法、常加速度法、线性加速度法、中心差分法、Newmark 法等。 目前常用的地震波反应谱计算软件有 SeismoSignal,该软件可以利用教育邮箱免费申请使用。利用数值计算方法,我们也可以自己编制地震波反应谱计算程序。

本文,编制了地震反应谱分析程序—SPECTR,用于批量计算反应谱,程序界面如下:

SPECTR-1

SPECTR-2

SPECTR-About

SPECTR 除了提供反应谱计算外,还可以对加速度时程进行基线修正和积分。

关于SPECTR的更多信息将会在接下来的博文中进行介绍。

SPECTR是免费的,可以在我的网站:www.jdcui.com 进行下载。

  • 小结(Conclusions

总结了地震反应谱的基本概念、基本公式、对反应谱和伪反应谱的概念进行了阐述,并编制了地震反应谱计算软件 SPECTR。如有错误或遗漏,欢迎大家批评指正。

  • 参考文献(References

[1] Chopra AK. Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering. Prentice-Hall: New Jersey, 2012.
[2] Clough RW, Penzien J. Dynamics of Structures. McGraw-Hill: New York, 1993

  • 注释(Comments

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分享一个小程序。  A program to share with you.

  • 程序图标( Program Icon )

MDOF_EIGENICON

  • 程序介绍 ( Program Introduction ):

 该程序是之前我在上结构动力学课的时候编制的。程序主要用于进行剪切形框架结构(即,糖葫芦串模型)的模态分析。

 可以使用该程序求解动力学课本后面的习题。阵型求解使用雅克比迭代法。

 This program is developed by me in the Structure Dynamics class. It is for modal analysis of shear building (i.e. , flexurally rigid floor beams and slabs ) with lumped mass at each floor.

 You can use the program to explore eigenvalue problems on you textbook and improve your understanding on free vibration. The program use Jcaobi method for the solution of eigenvalues.

  • 程序界面 ( Program Interface )

MDOF_Eigen Interface

  • 实例 ( Example):

求解一个5层剪切形框架结构的阵型,模型参数如下图所示。

The properties of a 5-story shear building are given in the graph below. These include the floor mass, story stiffness . Determine the modes of the system.

EigenAnalaysis_Example

      (1)  输入模型参数 ( Input Model Parameters )

MDOF_Eigen_ModeParametersInput

      (2) 运行特征值分析 ( Run Eigen Analysis )

      (3) 显示模态结果 ( Show mode Shape )

            Mode 1 :

MODE1

            Mode 2 :

MODE2

            Mode 3 :

MODE3

            Mode 4 :

MODE4

            Mode 5 :

MODE5

      (4) 显示详细结果( Show detailed results )

   MDOF_Eigen_DetailedResults

  • 编制参考( References ):

[1] Anil K. Chopra . DYNAMICS OF STRUCTURES – Theory and Applications to Earthquake Engineering ( Fourth Edition ).

  • 程序下载 ( Program Download ):

  ( Under Construction! )

  • 注释 ( Comments ):

  ( 软件是免费的。如果你发现软件有bug或者软件使用有问题,请联系我!邮箱:jidong_cui@163.com)

  ( This app is free . If  you have found any bug in the program or have any problem when using the program, please don’t hesitate to contact me directly. Email : jidong_cui@163.com )

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