[Dynamics][动力学] 振型向量归一是否对计算结果有影响?

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题目如题，结论肯定是没有影响的，因为振型向量本来就是不定的，振型元素之间只有相对关系，要求解振型向量元素的具体值，必须对振型向量进行标准化。简单说即先假定某个元素的值，然后才能求解出其余元素的值。

最近在研究舒适度，顺便把相关东西整理一下，正好还有小伙伴问，同时正好测试一下在网站上用LATEX写公式，看看是不是会专业点。

基本公式

结构的运动方程：

\[[M]\{ \ddot u\} + [C]\{ \dot u\} + [K]\{ u\} = \{ P\} （公式1） \]

将位移向量\(\{ u\} \) 用振型展开，

\[\{ u\} = [\phi ]\{ q\} = \sum\limits_{n = 1}^N {\left( {{{\left\{ \phi \right\}}_n} \times {q_{\rm{n}}}} \right)} （公式2） \]

其中，N为结构动力自由度的数量， \({\left\{ \phi \right\}_n}\) 为第n个振型， \({q_{\rm{n}}}\) 为广义坐标，又称为振型坐标。

假定阻尼矩阵为经典阻尼，起利用振型的正交性，可获得N个解耦的单自由度运动方程：

通过上公式3，可求解振型坐标 \({q_{\rm{n}}}\) ，并带入公式2，即可获得结构的响应。

令 \({\left\{ \phi \right\}_n} = \alpha {\left\{ \psi \right\}_n}\)，其中 \({\left\{ \psi \right\}_n}\) 为归一后的振型向量，\(\alpha \) 为归一系数，或者说是一个比例系数。

将 \({\left\{ \phi \right\}_n} = \alpha {\left\{ \psi \right\}_n}\) 代入公式3：

\[{\ddot q_n} + 2{\varsigma _n}{\omega _n}{\dot q_n} + \omega _{\rm{n}}^2{q_n} = \frac{{\left\{ \phi \right\}_n^T\left\{ P \right\}}}{{\left\{ \phi \right\}_n^T[M]{{\left\{ \phi \right\}}_n}}} = \frac{{\left\{ \psi \right\}_n^T\left\{ P \right\}}}{{\alpha \left\{ \psi \right\}_n^T[M]{{\left\{ \psi \right\}}_n}}}, \left( {n = 1,2, \ldots ,N} \right) （公式4）\]

同理，位移向量 \(\{ u\} \) 也可以用振型展开为：

\[\{ u\} = [\psi ]\{ d\} = \sum\limits_{n = 1}^N {\left( {{{\left\{ \psi \right\}}_n} \times {d_{\rm{n}}}} \right)} , \left( {n = 1,2, \ldots ,N} \right) （公式5）\]

相应的N个解耦的单自由度运动方程为：

\[{\ddot d_n} + 2{\varsigma _n}{\omega _n}{\dot d_n} + \omega _{\rm{n}}^2{d_n} = \frac{{\left\{ \psi \right\}_n^T\left\{ P \right\}}}{{\left\{ \psi \right\}_n^T[M]{{\left\{ \psi \right\}}_n}}}, \left( {n = 1,2, \ldots ,N} \right) （公式6）\]

对比公式4级公式6可知：

\[{q_n} = \frac{{{d_n}}}{\alpha } （公式7）\]

结合公式7，公式2整理为：

\[\left\{ u \right\} = \sum\limits_{n = 1}^N {\left( {{{\left\{ \phi \right\}}_n} \times {q_{\rm{n}}}} \right)} = \sum\limits_{n = 1}^N {\left( {\alpha {{\left\{ \psi \right\}}_n} \times {q_{\rm{n}}}} \right)} = \sum\limits_{n = 1}^N {\left( {\alpha {{\left\{ \psi \right\}}_n} \times \frac{{{d_n}}}{\alpha }} \right)} = \sum\limits_{n = 1}^N {\left( {{{\left\{ \psi \right\}}_n} \times {d_n}} \right)} \]

即公式2等于公式5，即振型向量是否归一，或者说振型向量进行缩放对结果不影响，因为结构的响应是振型向量与振型坐标的乘积求和。当振型向量放大 \(\alpha \) 倍后，振型坐标会缩小 \(\alpha \) 倍，乘积不变。