Posts tagged ‘Finite element method’

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上一篇博文《Torsion analysis by thermal analogy with ANSYS(ANSYS热比拟扭转应力分析)》用ANSYS软件利用稳态热传导分析功能对截面的扭转应力进行了分析,本文利用Abaqus实现相同的分析。

稳态热传导的控制方程与经典扭转理论的控制方程具有相似性。我们可以通过比拟,在通用有限元软件中利用稳态热传导分析的功能进行扭转问题的分析。本文结合Abaqus软件,通过一个实例说明这个比拟的具体过程。(The steady heat conduction problem and the classic torsion theory have analogy in their control partial differential equations. We can conduct a torsional analysis making use of the steady analysis fuction in general finite element program. This post gives an example on how to do torsion analysis as thermal analogy with Abaqus.)

  • 稳态热传导控制方程与扭转控制方程 ( Control partial differential equations of steady heat conduction problem and classic torsion theory

(1)稳态热传导控制方程

2D情况下的稳态热传导控制方程

SteadyHeatConduction

(2)St. Venant 扭转偏微分方程

Torsion

两者的偏微分方程均为Helmholtz方程的特殊形式。因此可以利用通用有限元软件中的稳态热传导分析功能通过比拟进行截面的扭转应力分析。

  • 算例(Example

TorsionProblem

  • 有限元模拟(FEM Analysis

利用Abaqus进行分析,具体步骤如下:

(1)设置工作路径并创建数据库(Set Work Directory and Create Model Database

(2)创建部件(Create Part

由于分析问题为2D,模型空间选为 2D Planar;类型为 Deformable;基本特性为 Shell。(As the problem is 2D, set 2D Planar as the Modeling Space, Deformable as the Type and Shell as the Base Feature.

CreatePart

(3)创建材料 (Create Material

在属性模块下( Property)定义材料,设置热传导系数为1。Under the Property, create a material and enter 1 for Thermal Conductivity.)

CreateMat

(4)创建截面并赋予截面 (Create Section and Assign Section in Property Module

(5)创建组件 (Create Assembly 

(6)创建用于稳态热分析的分析步(Create Step for Steady-Thermal Analysis 

CreateStep

(6)定义荷载和边界条件(Define load and boundary condition

定义零温度条件和2Gθ体热流等效荷载。

CreateLoad_BodyHeatflux2

(7)布置种子和划分网格(Seed Part Mesh

选择热传导单元。(Assign Heat Transfer Element)

AssignElement

MeshPart

(8)创建任务并提交分析(Create Job and submit to run analysis

(9)查看结果(Check Results

  • 查看分析结果(Check Results

(1)查看节点温度 (Nodal Temperature)

NodalTemperature

(2)查看热流量 (Thermal Flux )

HFL1

HFL2

(3)查看热流量向量 (Thermal Flux Vector)

HFLVector

  • 与理论结果对比(Comparison with Theory 

根据弹性理论,θ = T/ (ab31) , τmax = T/ (ab2β).

τmax θ(ab31) / (ab2β) = θbGβ1 / β = 0.0005*20*76923*0.141/0.208 = 521.4492Mpa

与分析结果 500.6Mpa相近。


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  • 注释 ( Comments )

  (  大家一起学习有限元!!!! 如有错漏,欢迎批评指正。邮箱:jidong_cui@163.com . 如果你喜欢这篇博文,请在上面给我 点个赞 吧! :-)   :-)   :-)

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稳态热传导的控制方程与经典扭转理论的控制方程具有相似性。我们可以通过比拟,在通用有限元软件中利用稳态热传导分析的功能进行扭转问题的分析。本文结合ANSYS软件,通过一个实例说明这个比拟的具体过程。(The steady heat conduction problem and the classic torsion theory have analogy in their control partial differential equations. We can conduct a torsional analysis making use of the steady analysis fuction in general finite element program. This post gives an example on how to do torsion analysis as thermal analogy with ANSYS.)

  • 稳态热传导控制方程与扭转控制方程 ( Control partial differential equations of steady heat conduction problem and classic torsion theory

(1)稳态热传导控制方程

2D情况下的稳态热传导控制方程

SteadyHeatConduction

(2)St. Venant 扭转偏微分方程

Torsion

两者的偏微分方程均为Helmholtz方程的特殊形式。因此可以利用通用有限元软件中的稳态热传导分析功能通过比拟进行截面的扭转应力分析。

  • 算例(Example

TorsionProblem

  • 有限元模拟(FEM Analysis

 利用ANSYS APDL进行分析,具体步骤如下:

(1)在前处理模块中新建单元类型(Create Element Type in Preprocessor Module

采用77号单元

ElementType

(2)在前处理模块中新建材料(Create Material in Preprocessor Module

材料主要定义热传导系数

Material

(3)在前处理模块创建面并划分网格(Create Area and Mesh in Preprocessor Module

Mesh

(4)施加零温度边界条件(Apply Zero Temperature Boundary Condition

(5)施加热源(Apply Heat on Area

等效热源:2Gθ = 2*76923*0.0005 = 76.923

HEATGenera

(6)求解有限元模型(Solve FEM model in Solution Module

进行稳态热传导分析

(7)查看结果(Check Results

  • 查看分析结果(Results

(1)查看节点温度 (Nodal Temperature)

NodalTemperature

可以看出扭转应力函数的形状。

(2)查看温度梯度 (Nodal Temperature Gradient)

NodalTemperatureGraintX

NodalTemperatureGraintY

(3)查看热流量向量 (Thermal Flux Vector)

ThermalFluxVector

从热流量向量图也可以看出,矩形截面扭转剪切应力的分布:边的中间最大,角点为0。

  •  与理论结果对比(Comparison with Theory 

根据弹性理论,θ = T/ (ab31) , τmax = T/ (ab2β).

τmax θ(ab31) / (ab2β) = θbGβ1 / β = 0.0005*20*76923*0.141/0.208 = 521.4492Mpa

与分析结果 519.165Mpa相近。


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欧拉伯-努利梁理论(Euler–Bernoulli beam)又称为工程梁理论(Engineering beam theory)或者经典梁理论(Classical beam theory)。欧拉梁不考虑剪切变形,与铁木辛柯梁(Timoshenko beam)相对。前面一篇博文《Analysis of a Euler–Bernoulli beam with Abaqus [Abaqus欧拉-伯努利梁分析]》复习了Abaqus中利用欧拉梁单元B23和B33单元进行悬臂梁的模拟,本文接着看看在 ANSYS APDL 中如何利用欧拉梁单元进行同样的分析。

  • 算例(Example

BEAMAnalysis

  • 有限元模拟(FEM Analysis

 整个悬臂梁在ANSYS APDL中的分析步骤如下:

(1)在前处理模块中新建单元类型(Create Element Type in Preprocessor Module

ANSYS中欧拉梁单元可以用BEAM3和 BEAM4单元来考虑,由于高版本的 ANSYS APDL (貌似是13版本开始) 不再支持GUI方式进行BEAM3和BEAM4单元的建模,高版本的ANSYS GUI 主要支持功能强大的 BEAM 188 和 BEAM189 单元。要建立BEAM3和BEAM4单元,可以通过命令流的方式。输入命令:ET,1,BEAM3  完成单元类型的建立:

ELEMENTTYPE

(2)在前处理模块中新建线弹性材料(Create Elastic Material in Preprocessor Module

ELASTICMATERIAL

(3)在前处理模块中定义单元的实常数(Create Real Constants for Element in Preprocessor Module

同样,高版本的ANSYS APDL也不支持GUI方式建立BEAM3和BEAM4单元的实常数,只能通过命令来定义。

输入命令:R, 1, 7960, 173450333.333333,350,0  完成实常数的建立:

REALCONSTANTS

其中 7960 为截面的面积;1734503333.333333 为截面的惯性矩; 350为截面的高度,0表示不考虑剪切效应,单元退化为欧拉梁单元。

(4)在前处理模块创建节点和单元(Create Node and Element for Element in Preprocessor Module

由于模型节点,直接建立节点(Nodes)和单元(Elements)。基本路径是 Preprocessor->Create-> Nodes 和 Preprocessor->Create->Elements。

(5)在前处理模块创建约束和节点力(Create Nodal Load and Constraint in Preprocessor Module

施加点力和约束。基本路径是 Preprocessor->Loads-> Apply->Structural->Disp和 Preprocessor->Loads-> Apply->Structural->Force。

Model

(5)求解有限元模型(Solve FEM model in Solution Module

(6)查看结果(Check Results

  • 查看分析结果(Results

(1)变形结果(Displacement Results

DEFORMEDSHAPE

最大的竖向位移为 12.0111 mm。

(2) 截面应力结果(Section Stress Results

截面应力的查看需要通过定义 单元表 (Element Table)来查看。

SectionStress

截面的最大应力为 50.4467Mpa。

(3)支座反力(Reaction Force

RECTIONFORCE

  •  与理论结果对比(Comparison with Theory 

(1)位移对比(Comparison of displacement 

端部位移的理论值 : U2 = F*L3/3EI = 10000*50003/(3*200000*173450333.333333) = 12.0111 mm.

ANSYS的分析结果为12.011mm,等于理论结果。

ANSYSDispResult

(2)截面应力对比(Comparison of section stress

端部截面的最大应力为:σ = My/I = 10000*50000*175 / (173450333.333333 ) = 50.4467 Mpa

ANSYS的分析结果为50.447Mpa,等于理论结果。

ANSYSSectionStress


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复习有限元知识,利用 Abaqus 进行欧拉-伯努利梁单元的分析。欧拉伯-努利梁理论(Euler–Bernoulli beam)又称为工程梁理论(Engineering beam theory)或者经典梁理论(Classical beam theory)。欧拉梁不考虑剪切变形,与铁木辛柯梁(Timoshenko beam)相对。Abaqus中的B23和B33单元为欧拉梁单元。

  • 算例(Example

BEAMAnalysis

  • 有限元模拟(FEM Analysis

 采用Abaqus进行分析,单元B23。基本步骤如下:

(1)设置工作路径并创建数据库(Set Work Directory and Create Model Database

(2)创建部件(Create Part

由于分析问题为2D,模型空间选为 2D Planar;类型为 Deformable;基本特性为 Wrie。(As the problem is 2D, set 2D Planar as the Modeling Space, Deformable as the Type and Wire as the Base Feature.

使用点连接线命令绘制梁的几何特性(Use the Created-Lines Connected Command to draw the geometry of the beam)。

DrawBeamGeometry

(3)创建材料 (Create Material

在属性模块下( Property)定义弹性材料,输入弹性模量和泊松比。Under the Property, create a elastic material and enter 200000 for Elastic Modulus and 0.3 for Possion’s Ratio.)

DefineMaterial

(4)创建梁截面轮廓( Create  Beam Profile

BeamProfile

(5)创建截面 (Create Section

 DefineBeamSection(6)赋予截面 (Assign Section

(7)赋予梁单元方向 (Assign Beam Orientation

BeamOrientation

可以渲染梁的3D形状检查截面定义是否正确(Render the Beam Profile to Check the Orientation

RenderBeamProfile

(8)划分部件网格 (Mesh Part)

 赋予单元类型(Assign Element Type),如图选择B23,为欧拉梁单元。(Assign Element Type, Select the Linear for the Geometric Order, and Cubic formulation for the Beam type.

ElementType

网格划分,本例只划分一个单元。

BEAMMESH

(9)在组装模块中创建实例,属性选择Parts(Create instance from Parts in Assembly Module)。

(10)定义荷载步(Create Load Step

定义静力分析用的荷载步,类型为Static,General,不考几何非线性。(Defined a new step for static analysis.

DefineStep

(11)定义荷载和约束 (Define load and constraint

施加固端支座约束,施加节点力10000 。

BoundaryConditioandLoadn

DefineConstraintAndLoad

(12)定义任务并运行分析 (Define Job and Submit to Run Analysis

(13)查看结果(Check Results

  • 结果分析(Results

可在Visualization模块打开分析完的.odb文件查看分析结果。

(1)变形结果

DeformedPlot

(2)应力结果

BottomStress

 (3)支座反力

RectionForce

  •  与理论结果对比(Comparison with Theory 

截面饶1轴的惯性矩 I=173450333.333333

端部位移的理论值 U2 = F*L3/3EI = 10000*50003/(3*200000*173450333.333333) = 12.0111 mm.

Abaqus 的分析结果

AbaqusResults

U.U2 = -12.0284,与理论结果相近。造成这种差别主要是Abaqus内部计算的惯性矩的值与理论值可能有差异。

  • 注释 ( Comments )

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接着上一篇博文的2D Truss静力分析,今天实现3D Truss的静力分析。这次求解一个72个单元的钢架在一水平节点力作用下的响应。

模型信息:

材料弹性模量 E:200000

构件截面面积A:4535

水平节点力:100000

4个支座为铰接,约束3个平动自由度位移。

模型如下图所示:

SAP2000_Trusss3D

在SAP2000中建立模型如下:

SAP2000_3DTruss

SAP2000计算结果:

SAP2000_3DTruss_DeformedShape

MATLAB计算结果:

MATLAB_Truss3D

结果对比:

Displacement Comparison
Node MATLAB-U1 MATLAB-U2 MATLAB-U3 SAP2000-U1 SAP2000-U1 SAP2000-U3
1 0 0 0 0 0 0
2 0.3921 0.0676 0.4639 0.392554 0.067651 0.463563
3 0.3162 -0.1443 0.4637 0.316749 -0.14432 0.463364
4 0.3921 -0.0676 -0.4639 0.392621 -0.06761 -0.463565
5 0 0 0 0 0 0
6 0.3162 0.1443 -0.4637 0.316766 0.14428 -0.463362
7 0 0 0 0 0 0
8 0 0 0 0 0 0
9 1.439 0.0069 0.7639 1.439155 0.006736 0.763356
10 1.2893 -0.1583 0.7622 1.289593 -0.15809 0.761586
11 1.4385 -0.0071 -0.7639 1.438722 -0.00696 -0.763343
12 1.2893 0.1585 -0.7622 1.289548 0.15832 -0.761594
13 3.222 -0.0698 0.7864 3.221394 -0.0694 0.785383
14 2.9821 -0.1681 0.7783 2.98157 -0.1682 0.777365
15 3.226 0.0707 -0.7866 3.225329 0.070395 -0.785557
16 2.9819 0.1663 -0.7782 2.98142 0.166487 -0.77725
17 5.9021 -0.2049 0.4189 5.895909 -0.20494 0.419653
18 5.3345 -0.2142 0.4167 5.329225 -0.21393 0.41709
19 5.8079 0.2142 -0.4164 5.801741 0.213925 -0.417049
20 5.3458 0.2432 -0.4177 5.340429 0.242521 -0.418163

从以上节点的位移对比结果可见,两者的计算结果是一致的。
PS.后续再找时间进行文档整理。

好久没用过MATLAB了,最近发现MATLAB的界面都和以前的不一样了。于是装个2014版本来学习一下,顺便复习一下有限元。

用MATLAB做个最简单的2D桁架分析并与SAP2000对比。

桁架信息:

弹性模量 E :200000

截面面积 A :4535

Truss2DModel

MATLAB计算结果:

MATLAB-2DTruss

SAP2000计算结果:

SAP2000-2DTruss

 

结果对比:

 

Displacement Results Comparison
DOF MATLAB SAP2000
1 0 0
2 0 0
3 0.2481 0.248071
4 -1.586 -1.586026
5 0.6615 0.661521
6 -1.586 -1.586026
7 0.9096 0.909592
8 0 0
9 0.7856 0.785557
10 -1.0862 -1.086157
11 0.4548 0.454796
12 -1.9205 -1.920515
13 0.124 0.124035
14 -1.0862 -1.086157

从上面的节点位移对比可知,MATLAB和SAP2000计算结果是一致的。

时间冲忙,就整理到这里吧,发现就这么简单的整理一下,备忘一下都会花很多时间。

PS. 希望后面可以继续有时间和激情整理MATLAB用于有限元的一些小东西,希望可以整理成资料放上来和大家分享,对于初学者就很有用了。

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