[动力学][有限元]模态分析基础 (Basics of Modal Analysis) (《有限单元法-编程与软件应用》章节节选)

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《有限单元法:编程与软件应用》模态分析章节的内容节选:

模态分析是一种研究结构动力特性的方法,通过模态分析,可以得到结构各阶模态的频率和振型。在结构工程中,模态分析是进行结构动力分析和抗震设计的基础,风荷载计算时,也常常需要模态分析提供的周期参数。本章首先简要介绍模态分析的基本原理,然后以一个桁架结构和一个框架结构为例,介绍有限元法进行模态分析的编程过程及其在具体软件中的应用。

  • 基本方程

根据结构动力学知识,体系无阻尼自由振动方程为

             (10.1‑1)

其中 [M]和 [K]分别为结构的质量矩阵及刚度矩阵,  分别为结构的节点位移及节点加速度列阵,上式是一个常系数齐次线性微分方程组,其解的形式为

                               (10.1‑2)

其中  与时间无关。将方程解(10.1‑2) 带入方程(10.1‑1),可得

            (10.1‑3)

上式是齐次线性代数方程组,其有非零解的条件是系数行列式等于零,即

                     (10.1‑4)

如果 [K] 和 [M]的阶数为n,则(10.1‑4)是 的n次方程,称作结构自由振动特征方程。 称为特征值。将特征值带入(10.1‑3),可求得相应的 ,称为特征向量。第i个wi2 称为第i特征对。 wi即结构第i个固有频率, 即结构第i个振型。

  • 求解方法

公式(10.1‑3)在数学上称为广义特征值问题,一般记作

                (10.1‑5)

通常有两种方法求解方程。一是按求广义特征值问题的相应方法求解,例如广义雅克比法、子空间迭代法;二是先将上式变换为标准特征值问题,再按相应的方法求解。本例采用后者。

标准特征值问题的公式表示为

                           (10.1‑6)

对于(10.1‑5),若 [M]-1 存在,则公式变为

                  (10.1‑7)

[K]-1存在,则公式变为

            (10.1‑8)

  。

求得特征值λ后,可带入方程(10.1‑6)求得相应的特征向量。

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