[地震工程][动力学][Chapter14]地震作用下结构的能量分析 [Energy analysis of structures under earthquake]

实干、实践、积累、思考、创新。


以下内容摘选自《结构地震反应分析——编程与软件应用》一 书的 第14章,关于书本更多信息可查看链接:http://www.jdcui.com/?page_id=16529

在地震作用下,地震能量不断输入到结构体系中,其中一部分能量以动能和可恢复弹性应变能的形式存储起来,另一部分能量则被结构体系的阻尼和结构构件产生的非弹性变形耗散掉。当结构停止震动时,体系动能和可恢复弹性应变能归零,地震输入到结构体系的能量全部被结构体系的阻尼和结构构件产生的非弹性变形耗散掉。结构在地震作用下的反应过程,是地震输入能量在结构体系中以多种形式不断转化和耗散的过程。本章从能量平衡方程出发,给出各类耗能的定义,在此基础上给出逐步积分法时程分析时各类能量的求解方法,并给出了具体的MATLAB编程代码。

14.1 能量平衡方程

在地震动持续过程中的任意时刻,结构体系储存和耗散的总能量等于地震动输入到结构体系中的能量[1],即

\[{E_{In}} = {E_k} + {E_s} + {E_d} + {E_p}    (14.1‑1)\]

其中EIn表示地震输入的总能量,Ek表示体系的动能,Es表示结构的可恢复弹性应变能,Ed表示结构阻尼耗能,Ep表示结构非弹性耗能。其中动能Ek和弹性应变能Es是瞬时变量,阻尼耗能Ed和非弹性耗能Ep是累积的。

以下讨论上述公式中各项能量的计算公式。

14.1.1 单自由度体系能量平衡方程

水平地震作用下单自由度体系的地震动力方程:

以相对位移表示的动力方程:

\[m\ddot u\left( t \right) + c\dot u\left( t \right) + {f_s}\left( {u,\dot u} \right) = – m{\ddot u_g}\left( t \right)    (14.1‑2)\]

以绝对位移表示的动力方程

\[m{\ddot u_a}\left( t \right) + c\dot u\left( t \right) + {f_s}\left( {u,\dot u} \right) = 0    (14.1‑3)\]

式中 \({\ddot u_a}\)是体系的绝对加速度,且有 \({\ddot u_a}\left( t \right) = {\ddot u_g}\left( t \right) + \ddot u\left( t \right)\),即体系的绝对加速度等于相对加速度加上地面加速度。

根据公式(14.1‑4)及(14.1‑5),可以分别得到基于相对位移定义的能量平衡方程及基于绝对位移表示的动力方程[1]

(1)以相对位移定义的能量平衡方程

对方程(14.1‑2)两端在地震动持时范围[0,t]积分,得到以相对位移定义的能量平衡方程。

\[\int_0^t {m\ddot udu} + \int_0^t {c\dot udu} + \int_0^t {{f_s}du} = – \int_0^t {m{{\ddot u}_g}du}   (14.1‑4)\]

将\(du = \dot udt\)代入可得

\[\int_0^t {m\ddot u\dot udt} + \int_0^t {c\dot u\dot udt} + \int_0^t {{f_s}\dot udt} = – \int_0^t {m{{\ddot u}_g}\dot udt}   (14.1‑5)\]

上式可简化为

\[{E_k} + {E_d} + {E_s} + {E_p} = {E_{In}}    (14.1‑6)\]

其中

\({E_k}\)——结构在相对坐标系下的动能,有 \({E_k} = \int_0^t {m\ddot u\dot udt = \frac{{m{{\dot u}^2}}}{2}} \);

\({E_d}\)——结构在相对坐标系下的阻尼耗能,有 \({E_d} = \int_0^t {c{{\dot u}^2}dt} \);

\({E_s},{E_p}\)——结构在相对坐标系下的弹性应变能和非弹性变形耗能,有 \({E_s} + {E_p} = \int_0^t {{f_s}\dot udt} \);

\({E_{In}}\)——地震动输入结构的能量,有\({E_{In}} = – \int_0^t {m{{\ddot u}_g}\dot udt} \)。

(2)以绝对位移定义的能量平衡方程

对方程(14.1‑3)两端在地震动持时范围[0,t]积分,得到以绝对位移定义的能量平衡方程。

\[\int_0^t {m{{\ddot u}_a}du} + \int_0^t {c\dot udu} + \int_0^t {{f_s}du} = 0    (14.1‑7)\]

将\(u = {u_a} – {u_g}\)代入上式可得

\[\int_0^t {m{{\ddot u}_a}{{\dot u}_a}dt} + \int_0^t {c\dot u\dot udt} + \int_0^t {{f_s}\dot udt} = \int_0^t {m{{\ddot u}_a}{{\dot u}_g}dt}    (14.1‑8)\]

上式可简化为

\({E’_k} + {E_d} + {E_s} + {E_p} = {E’_{In}}    (14.1‑9)\)

其中,\({E’_k}\)——结构在绝对坐标系下的动能,有\({E’_k} = \int_0^t {m{{\ddot u}_a}{{\dot u}_a}dt} = \frac{{m\dot u_a^2}}{2}\), \({E’_{In}}\)——地震动输入结构的能量,有\({E_{In}} = \int_0^t {m{{\ddot u}_a}{{\dot u}_g}dt} \) 。

14.1.2 多自由度体系能量平衡方程

对于多自由度体系,由于能量是标量,因此只需将各自由度的能量项叠加即可,则相对坐标下多自由度体系的能量平衡方程为

\[\sum\limits_{i = 1}^n {{E_{ki}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{E_{di}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{E_{si}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{E_{pi}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{E_{Ini}}}     (14.1‑10)\]

绝对坐标下多自由度体系的能量平衡方程为

\[\sum\limits_{i = 1}^n {{{E’}_{ki}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{{E’}_{di}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{{E’}_{si}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{{E’}_{pi}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{E’}_{Ini}}}      (14.1‑11)\]

式中n是体系自由度数量。

14.1.3 相对与绝对能量平衡方程

对比方程(14.1‑6)和方程(14.1‑9),可知相对能量平衡方程与绝对能量平衡方程中的阻尼耗能、弹性应变能即非弹性变形耗能是相同的,两者中的动能、总输入能量是不同的。根据以下关系

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\ddot u}_a} = \ddot u + {{\ddot u}_g}}\\
{{{\dot u}_a} = \dot u + {{\dot u}_g}}
\end{array}} \right.         (14.1‑12)\]

可得相对坐标下和绝对坐标下的动能、地震动输入能量之间的关系[1]如下

\[\left\{ \begin{array}{l}
{{E’}_{In}} – {E_{In}} = \frac{1}{2}m\dot u_g^2 – m\dot u{{\dot u}_g}\\
{{E’}_k} – {E_k} = \frac{1}{2}m\dot u_g^2 + m{{\dot u}_g}\dot u
\end{array} \right.         (14.1‑13)\]

针对上式,当结构周期 \(T \to 0\)时,由于 \({\ddot u_a} \to {\ddot u_g}\), \({u_a} \to {u_g}\)及 \(u \to 0\),则有

\[\left\{ \begin{array}{l}
{E_{In}} \to 0\\
{{E’}_k} \to \frac{1}{2}m\dot u_g^2
\end{array} \right.        (14.1‑14)\]

当结构周期 \(T \to 0\)时,由于\({\dot u_a} \to 0\), \({\ddot u_a} \to 0\)及\(u \to – {u_g}\),则有

\[\left\{ \begin{array}{l}
{E_{In}} \to \frac{1}{2}m\dot u_g^2\\
{{E’}_k} \to 0
\end{array} \right.         (14.1‑15)\]

由此可以得到一个根据地震波最大速度值 估计的地震输入能量上限值

\[{E_{In,\max }} = \frac{1}{2}m\dot u_{g,\max }^2  (14.1‑16)\]

14.1.4 逐步积分法中能量求解

当采用时域逐步积分法进行地震动力平衡分析求解时,根据上节公式,可得单自由度体系的动能、可恢复应变能、阻尼耗能、屈服耗能的求解公式如下:

\[{E_{k,i}} = \frac{{m\dot u_i^2}}{2}        (14.1‑17)\]

\[{E_{s,i}} = \frac{{f_{s,i}^2}}{{2k}}          (14.1‑18)\]

\[{E_{d,i}} = {E_{d,i – 1}} + \frac{1}{2}c({\dot u_i} + {\dot u_{i – 1}})({u_i} – {u_{i – 1}})          (14.1‑19)\]

\[{E_{p,i}} = {E_{r,i}} – {E_{s,i}} = {E_{r,i – 1}} + \frac{1}{2}({f_{s,i}} + {f_{s,i – 1}})({u_i} – {u_{i – 1}}) – {E_{s,i}}           (14.1‑20)\]

其中ER,i表示体系的可恢复应变能与屈服耗能之和,下标i表示积分步。

对于多自由度体系,上述公式表示为

\[{E_{k,i}} = \frac{1}{2}{\left\{ {{{\dot u}_i}} \right\}^T}\left[ M \right]\left\{ {{{\dot u}_i}} \right\}            (14.1‑21)\]

\[{E_{Si}} = \frac{1}{2}{\left\{ {{f_{s,i}}} \right\}^T}{\left[ K \right]^{ – 1}}\left\{ {{f_{s,i}}} \right\}        (14.1‑22)\]

\[{E_{d,i}} = {E_{d,i – 1}} + \frac{1}{2}{\left( {\left\{ {{{\dot u}_i}} \right\} + \left\{ {{{\dot u}_{i – 1}}} \right\}} \right)^T}\left[ C \right](\left\{ {{u_i}} \right\} – \left\{ {{u_{i – 1}}} \right\})      (14.1‑23)\]

\[{E_{p,i}} = {E_{r,i}} – {E_{s,i}} = {E_{r,i – 1}} + \frac{1}{2}{(\left\{ {{f_{s,i}}} \right\} + \left\{ {{f_{s,i – 1}}} \right\})^T}(\left\{ {{u_i}} \right\} – \left\{ {{u_{i – 1}}} \right\}) – {E_{s,i}}      (14.1‑24)\]

14.2 单自由度体系能量分析算例

14.3 多自由度体系能量分析算例

14.4 弹性与弹塑性结构耗能对比

14.5 小结

14.6 参考文献


You already voted!

  • 相关内容(Related Topics

[01]. [Tool] SPECTR – A program for Response Spectra Analysis [反应谱计算程序]

[02]. [程序][Tool] Ground Motion Selection [强震记录选取]

[03]. [程序][软件]Ground Motion Library [强震记录管理]

[04]. Artificial ground motion generator [人工模拟地震动]

[05]. ATC-63 Ground Motion Record Sets [ATC-63推荐的地震动记录集]

[06]. [Tool][软件]PEER NGA Ground Motion Convertor [PEER地震波数据格式转换器]

[07]. Frequency Analysis of Ground Motion by MATLAB [MATLAB地震动频域分析]

[08]. [Tool] [程序] GB18306-2015《地震动参数区划图》地震动参数计算

[09]. [Tool]水电工程水工建筑物标准设计反应谱计算程序(NB 35047-2015)

[10]. GB18306-2015地震动参数确定步骤与实例 (Ground motion parameter determination steps and examples of GB18306-2015)

[11]. 设计基本地震加速度与水平地震影响系数最大值

[12]. Tripartite Plot of Response Spectra [三联反应谱的基本概念与绘制]

[13]. Earthquake Response Spectra Analysis by MATLAB [MATLAB地震反应谱分析]

[14]. YJK地震波反应谱分析与地震波选取注意事项

[15]. 地震反应谱的特性(The Characteristics of Earthquake Response Spectrum)

[16]. Basics of Earthquake Response Spectra[地震反应谱的基本概念]

[17]. [Tool]中国规范反应谱生成程序 [Chinese Code’s Design Response Spectrum]

[18]. ETABS 2015人工波功能初步测试(一)

[19]. ETABS 2015人工波功能初步测试(二)

[20]. [Tool][软件][动力学]NSDOF v2016: A Tool for Nonlinear Dynamic Analysis of SDOF System (NSDOF: 单自由度系统动力非线性分析工具)

[21]. Dynamic Analysis of SDOF System by MATLAB [MATLAB单自由度系统动力响应分析]

[22]. 地震波基线是否修正对结构分析结果的影响(一)

[23]. [科研][工具][Research] 反应谱拟合及反应谱特征参数提取工具 [A tool for fitting response spectrum and extracting response spectrum parameters]

[24]. [Software][科研小工具] 力-位移累积耗能计算[Force-Displacement Cumulative Dissipated Energy Calculator ]

[25]. [Tool][更新][Updates] SPECTR (v1.1) – A program for Response Spectra Analysis [SPECTR反应谱计算程序更新]

[26]. GMS Converter: 通用格式转换器 [General Formats Transformer for Earthquake Records]

[27]. [编程][软件] PERFORM-3D 地震波时程转换工具

[28]. [软件][工具][地震][Tool] 结构抗震分析地震动强度指标计算工具 ( A tool for Calculating Earthquake Intensities for Seismic Analysis of Structures)

[29]. [软件][地震动][Tool] 地震动参数计算软件GMP:补充介绍及说明

[30]. [地震工程][科研]地震动能量反应谱 (Earthquake Energy Demand Spectra)

[31]. [地震动][软件][研究][Tool] 反应谱阻尼效应系数Dh计算工具 (A Tool for Calculating Damping Correction Factor of Earthquake Spectrum)

[32]. [减隔震][地震工程][软件][Tool] 软钢·摩擦阻尼器减震结构的性能曲线计算

[33]. [地震工程][科研][软件][Tool] 等延性反应谱计算工具 (Construction of Constant-Ductility Response Spectrum)

[34]. [选波][地震波][Tool] GMS: Ground Motion Selection Program Updates (GMS选波软件更新)

[35]. [选波][地震波] 记录一个实际工程有趣的选波问题

[36]. [PEER][地震波] 关于PEER强震数据库地震波的单位及数据格

[37]. [科研][更新][Update] 地震动参数计算软件(GMP)更新 (支持更多数据导入格式)

[38]. YJK1.7人工波功能测试

[39]. [工程][项目][地震动][软件] EPA Scaling: EPA-based Adjustment Tool of Seismic Ground Motion Record[基于EPA的地震动记录调整工具]

[40]. [数学][地震动][软件] FOUR_TRAN: Fourier Analysis Tool [傅里叶分析工具]

[41]. [数学][软件] FOUR_TRAN Example 3: Earthquake Ground Acceleration Frequency Spectrum Analysis [FOUR_TRAN傅里叶分析工具使用案例3: 地震波频谱分析]

[42]. [工程][项目][地震动][软件] EPA Scaling: EPA-based Adjustment Tool of Seismic Ground Motion Record[基于EPA的地震动记录调整工具]

[43]. [Tool][软件][Dynamics] NSDOF v2020: A Tool for Nonlinear Dynamic Analysis of SDOF System (NSDOF单自由度系统动力非线性分析工具 v2020)

[44]. [软件][工具][地震波] KNETConvert: Kik-net Ground Motion Converter [K-Net, Kik-net 地震波数据转换工具]

[45]. [地震工程][科研][软件] IRSA 2020: Inelastic Response Spectra Analysis Program (弹塑性反应谱及单自由度非线性地震分析工具)

[46]. [Tool][软件][更新][性能设计] PPPSP v2020: Pushover Performance Point Solution Program [PPPSP v2020: Pushover 分析性能点求解程序][Based on FEMA 440]

[47]. [软件][地震动][Update] GMP v2020: A tool for Calculating Ground Motion Parameters for Seismic Analysis of Structures [结构抗震分析地震动强度指标/地震动参数计算工具]

[48]. [反应谱][动力学][抗震] 不同阻尼比反应谱曲线的相交现象 (The Curve Intersection Phenomenon of Response Spectra with Different Damping Ratios)

[49]. [地震][动力学] 对称结构的地震剪力规律 (Seismic Shear Law of Symmetrical Structures)

[50]. [软件][地震波][抗震] GMS_Design 地震波选波工具

[51]. [地震][结构] 双向地震作用效应,【先振型组合,再方向组合】及【先方向组合再方向组合】的差异?(实际案例测算)

[52]. [地震计算][反应谱][动力学][CQC] 振型叠加法随着组合振型数量的增加各种响应量是怎么变化的?

[53]. [抗震][动力学] 对于整体结构,X向地震作用下有Y向剪力吗?有!!

[54]. [地震波][选波][教程] 时程分析地震波选波介绍 ( Introduction of Seismic Wave Selection in Time History Analysis)

[55]. [抗震][减震][笔记] 黏弹性阻尼器的减震性能曲线 Response Reduction Curve of Viscoelastic (VE) System

[56]. [地震][动力学][Dynamics] 将阻尼矩阵的非对角线元素取为0计算结果会怎么样?

[57]. [工具][软件][规范] 广东省标准《高层建筑混凝土结构设计规范》反应谱计算工具

[58]. [资料] 1940 El Centro (Imperial Valley) Earthquake 地震波

[59] [动力学][Dynamics][SAP2000] SAP2000中振型向量的标准化方法

[60] [Dynamics][动力学][抗震] 等效地震力与伪加速度反应谱(Equivalent Static Lateral Seismic Force and Pseudo-Acceleration Spectrum)

[61] [Dynamics][动力学][SAP2000] 梁的振动形态及振型质量 (Vibration Modes and Modal Mass of Beams)

[62] [Dynamics][动力学] 绝对加速度大还是相对加速度大?( Which value is greater? Absolute acceleration or relative acceleration?)

[63] [地震动][动力学] 地震波的基线修正是什么意思?什么时候要基线修正?

[64] [SPECTR][SeismoSignal] SPECTR与SeismoSignal反应谱计算有差异?

[65] [动力学][舒适度] 增加结构的刚度可以降低的结构的加速度吗?

[66] [动力学][Dynamics] 动力时程分析求解的位移和速度结果能否通过相应的加速度结果进行积分得到?(Can the displacement and velocity results obtained by dynamic time history analysis be obtained by integrating the corresponding acceleration results?)

[67] [软件][动力学][Dynamics] NSDOF算例1——单自由度体系弹性动力时程分析

[68] [软件][动力学][Dynamics] NSDOF算例2——单自由度体系非线性动力时程分析

[69] [软件][动力学][Dynamics] NSDOF算例3——非线性粘滞阻尼单自由度体系动力时程分析

[70] [软件][动力学][Dynamics] NSDOF算例4——摩擦阻尼单自由度体系动力时程分析

[71] [软件][动力学][Dynamics] NSDOF算例5——非线性粘滞阻尼器+材料非线性 单自由度体系动力时程分析

[72] [软件][动力学][Dynamics] NSDOF算例6——设置黏弹性阻尼器单自由度体系动力时程分析

[73] [下载][软件]GB-SPECT V2021: 中国规范反应谱生成程序 [Chinese Code’s Design Response Spectrum]

[74] [结构][软件] TLDPC: 调谐液体阻尼器参数计算器 [TLDPC: Tuned Liquid Damper (TLD) Parameter Calculator]

[75] [下载][软件] 黏滞阻尼系数单位转换工具 [Viscous Damping Coefficient Unit Conversion Tool]

[76] [笔记][算例][减振] 调谐液体阻尼器减震算例 [Example of Vibration Reduction of Tuned Liquid Damper (TLD) ]

[77] [动力学][地震] 振型分解反应谱法构件地震力的计算过程?

[78] [下载][软件][地震工程] Spectr_Evolution: Seismic response spectrum evolution [地震波反应谱演化][反应谱随积分时间长短的变化]

[79] [软件][数学][地震动] FPSA: Fourier and Power Spectra Analysis [地震波频谱分析工具]

[80] [动力学][地震工程] 一个有趣的问题: SPECTR中的Newmark-Beta法计算反应谱发散?

[81] [结构设计][动力学] YJK中CQC振型组合地震力的复核

[82] [工具][软件][地震动] AEEG: A Program for Artificial Earthquake Accelerograms Generation [人工地震波合成软件]

[83] [论文][Paper] 基于目标谱匹配法的地震波选波系统研制 (Development of seismic wave selection system based on target spectrum matching method)

[84] [动力学][地震动] SPECTR与SeismoSignal反应谱计算有差异?

[85] [软件][动力学][编程] NMDOF v2022: A Tool for Dynamic Analysis of Nonlinear Shear-Type MDOF System (多自由度剪切层模型系统动力非线性分析工具 v2022)

[86] [动力学][软件] NMDOF算例1 —— 单自由度体系(WEN模型)非线性动力时程分析 [Nonlinear Dynamic Time History Analysis of Single Degree of Freedom System (WEN Model)]

[87] [动力学][软件] NMDOF算例2 ——两自由度简化隔震结构体系(WEN模型)非线性动力时程分析 [Nonlinear Dynamic Time History Analysis of Two Degrees of Freedom Simplified Isolation Structural System (WEN Model)]

[88] [软件][更新][Dynamics] NSDOF v2022: A Tool for Nonlinear Dynamic Analysis of SDOF System (NSDOF单自由度系统动力非线性分析工具 v2022)

[89] [软件][地震动] GMP v2022: A tool for Calculating Ground Motion Parameters for Seismic Analysis of Structures [结构抗震分析地震动强度指标/地震动参数计算工具]

[90] [科研][工具][地震动] RSF Response Spectrum Fitting v2022: 反应谱拟合及反应谱特征参数提取工具 [RSF: A tool for fitting response spectrum and extracting response spectrum parameters]

[91] [抗震][动力学] 软件是如何计算偶然偏心地震作用的? (How does the program calculate the accidental eccentric earthquake action?)

[92] [软件][地震动] AEEG人工地震波合成 —— 案例1(拟合自定义反应谱)

[93] [软件][地震动] AEEG人工地震波合成 —— 案例2(如何提高人工波拟合精度)

[94] [Tool][Seismic Design] GDRSC: A Tool to Generate Design Response Spectral Curve for ASCE 7-16 [ASCE 7-16 美规设计反应谱曲线生成器]

[95]. [软件][地震工程][科研][更新] IRSA 2022: Inelastic Response Spectra Analysis Program (弹塑性反应谱及单自由度非线性地震分析工具)

[96]. [软件][地震工程] IRSA 案例1 —— 等延性反应谱分析算例 ( Constant Ductility Response Spectra Analysis Examples of IRSA)

[97]. [软件][地震工程] IRSA 案例2——单自由度非线性地震分析算例 ( Inelastic SDOF Earthquake Analysis Examples of IRSA)

[98]. [软件][地震工程] IRSA 案例3 – 等屈服强度系数延性需求谱分析算例 ( Equal yield strength coefficient Ductility Demand Response Spectra Analysis Examples of IRSA)

[99]. [软件][地震工程] IRSA 案例4 – 等延性需求谱算例验证 ( Verification Examples of Constant Ductility Demand Spectrum for IRSA )

[100]. [软件][地震工程] IRSA 案例5——地震波能量谱分析 ( Seismic Wave Energy Spectrum Analysis Examples of IRSA)

[101]. [软件][地震工程] IRSA 案例6——地震波基线修正 ( Seismic Wave Baseline Correction Examples of IRSA)

  • 微信公众号 ( Wechat Subscription)

WeChat_QRCode

欢迎关注 “结构之旅” 微信公众号

Leave a Reply

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.